第三章 平均数与变异指标

计量资料有离散型变量和连续型变量。对离散型变量，可列出变量值及其频数如表4.1。若变量值较多时，亦可用组段表示如表4.2。每个组段的起点称下限，终点称上限，上限与下限之差称组距。如表4.2第一组的下限是0，上限是1。第二组的下限是2上限是3，组距都是1。归组以后，该组的变量值用组段的中值代表，称组中值。如第一组的组中值为0.5。 表4.1　某市居民1095天中每天意外死亡人数(1980～82年)

死亡人数	天数
0	807
1	250
2	31
3	5
4	0
5	0
6	0
7	1
8	0
┆	┆
15	1
合 计	1095

表4.2　204名轧钢工人白细胞中大单核所占百分比

大单核数（个/每百白细胞）	人数
0-1	24
2-3	40
4-5	55
6-7	37
8-9	27
10-11	18
12-13	1
14-15	0
16-17	1
18-19	0
20-21	1
合计	204

若是连续型变量，组段的写法与离散型变量的略有不同。如表4.3坐高第一组段下限为61，上限为62；第二组段的下限为62，上限为63。因此，上一组段的上限和下一组段的下限值相同。为便于归组，上限一般不写出来。如第一组写成“61-”，意思是凡坐高在61至未离散型变最的数值较大时，亦可按连续型变量写组段，如红细胞数（万/mm3）的组段应写成400-419，420-439，…，亦可简化写成400-，420-，…。这样由组段和频数两部分组成的表称为频数表。下面用表4.4资料说明频数表编制步骤。?? 表4.3　某市7岁男童坐高频数表 yixuetongjixue031.jpg 表 4.4　西安市7岁男童102人的坐高，cm

64.4	63.8	64.5	66.8	66.5	66.3	68.3	67.2	68.0	67.9
63.2	64.6	64.8	66.2	68.0	66.7	67.4	68.6	66.8	66.9
63.2	61.1	65.0	65.0	66.4	69.1	66.8	66.4	67.5	68.1
69.7	62.5	64.3	66.3	66.6	67.8	65.9	67.9	65.9	69.8
71.1	70.1	64.9	66.1	67.3	66.8	65.0	65.7	68.4	67.6
69.5	67.5	62.4	62.6	66.5	67.2	64.5	65.7	67.0	65.1
70.0	69.6	64.7	65.8	64.2	67.3	65.0	65.0	67.2	70.2
68.0	68.2	63.2	64.6	64.2	64.5	65.9	66.6	69.2	71.2
68.3	70.8	65.3	64.2	68.0	66.7	65.6	66.8	67.9	67.6
70.4	68.4	64.3	66.0	67.3	65.6	66.0	66.9	67.4	68.5
68.3	69.7

(一)找出原始资料中的最小、最大值　表4.4坐高的最大值为71.2cm，最小值为61.1cm，最大值与最小值之差称极差为10.1cm。 （二）定组距　先考虑组数。资料在100例以上的一般分10-15组。若例数较少，组数可相应少些；例数很多，组数可酌情多些，以能显示分布的规律为宜。此例拟分10组。将拟分的组数除极差（10.1/10≈1）得组距的约数。再调整到较方便的数如0.1、0.2、0.5，1、2、5、10、20、50……等。此例取组距为1。 （三）写组段　取等于或略小于最小值的整数为第一组的下限。按组距依次写出各组段的下限及短横，见表4.3组段行，注意短横“-”不能略去。 （四） 划线记数　像选举开票那样，将变量值逐个归入相应的组段，如将64.4归入“64-”组，63.8归入“63-”组。每归入一个变量值，在相应的组段内划一竖线，每逢第五线则作一横线跨在已划出的四条竖线上，这样五线连在一起最后计数时就很方便了。划完后将每个组段内的线条数写出，再将各组频数合计，频数表就编好了。 若事先不能确定合适的组数，可先分细些，需要时再将相邻两组合并。而分粗了，再要分细，则只得重划。 表4.4的资料编成频数表（见表4.3）后，可看出变量值的分布情况，若绘成直方图就更直观。从图4.1可看到横坐标约为66.5cm处直方最高，表示变量值围绕在66.5左右的最多；两侧对称下降，大于66.5和小于66.5的变量值个数基本相等。这种类型的分布为对称分布。第五章介绍的正态分布是其中最常见的一种。 yixuetongjixue032.jpg西安市7岁男童坐高分布 图4.1　西安市7岁男童坐高分布 此外，如图4.2，变量值愈小频数愈多图形呈“L”形，图4.3的频数集中在变量值较小的一边，右侧尾部拖得很长。后两种属偏态分布。这三种频数分布都只有一个高峰称单峰分布。为更准确地说明分布的特征，对形状相同的分布作出集中位置和离散程度的比较，就需计算频数分布的一些特别值。如平均数、百分位数、极差、标准差、变异系数等。 yixuetongjixue033.jpg某市1095天中居民意外死亡人数（1980-1982） 图4.2　某市1095天中居民意外死亡人数（1980-1982） yixuetongjixue034.jpg204名轧钢工人白细胞中大单核所占百分比 图 4.3　204名轧钢工人白细胞中大单核所占百分比

（一）众数　出现次数最多的变量值，或频数表上频数最多组的组中值即为众数。如表4.3中坐高的众数是66.5cm。这样仅由观察所得的众数称为观察众数。同一资料常因所用组距不同和下限取值不同，观察众数稍有出入，故又称概约众数，与观察众数相对应的尚有理论众数。理论众数的算法根据频数曲线类型的不同而异，数学上为与极大值相应的横坐标。
（二）中位数及百分位数
1．中位数 将n个变量值从小到大排列后，居中的一数就是中位数，符号为M，有的书上用Md。它将变量值分为两半，一半比它小，一半比它大。
X1<X2<…<M<…Xn-1<Xa
当n为奇数时
yixuetongjixue035.jpg　　　　　　（4.1）
当n为偶数时
yixuetongjixue036.jpg（4.2）
当资料呈明显偏态，或有个别的特小、特大值存在时，中位数的代表性往往比均数好。例如有5个变量值8、9、9、10、19。其中4个在9左右，但由于受数值19的影响，均数为11，不能很好代表中等水平。求中位数
yixuetongjixue037.jpg
比较符合实际。
根据频数表计算连续型变量的中位数可用式（4.3）或式(4.4)
yixuetongjixue038.jpg（4.3）
或　　　　yixuetongjixue039.jpg（4.4）
式中L、U分别为中位数所在组的下限及上限，A1为小于L的各组的累计频数，A2为大于U的各组的累计频数，fM、i分别为中位数所在组的频数和组距。现用表4.5说明计算步骤如下：
（1）求出中位数的位置。在频数表上，数据已由小到大排好了。中位数将频数等分为2，因此先计算n/2，得中位数的位置。
n/2=157/2=78.5
（2）列出频数表、计算累计频数。列频数表时，组段的短横“－”写在两个组段下限之间，其意义仍与写在右边的相同，见表4.5第（1）栏。
第（3）栏为累计频数。此例自上而下累计到略小于n/2为止得A1=41，表示住院天数为10天及以下的有41个人。若要知道第78.5人的变量值，就需要从10-15组内再累计（78.5-41=）37.5人。假定该组的49人在10-15天内均匀分布着（见图4.4），那么只要在10天上再加（78.5-41）/49个组距便是中位数了。所以
yixuetongjixue040.jpg
用符号表示见式（4.3）。
若将频数自下而上累计到略小于n/2为止，则得A2=67。也得出中位数在10-15组段内。
yixuetongjixue041.jpg
图4.4　中位数计算示意图
（3）写出L或U、fM及i。
（4）代入公式得M。
例4.1 求杆菌痢疾治愈者157名住院天数的中位数。
n/2＝157/2＝78.5
表4.5　杆菌痢疾治愈者的住院天数
yixuetongjixue042.jpg
L=10或U=15，fM=49，i=5。
代入公式
yixuetongjixue043.jpg
杆菌痢疾治愈者住院天数的中位数为13.8天。
中位数既然把频数等分为二，所以从另一端算起，用式（4.4）可得到同样的结果。
此例若计算治愈者平均住院天数得17.9天。从频数表上可看到157名患者中住院天数少于15天的就有90名，占57.3%，因此中位数13.8天的代表性优于均数17.9天。
2．百分位数　中位数将频数等分为二，亦称二分位数。若将频数等分为四，则称四分位数，共有三个四分位数，即第一、第二、第三四分位数。第二四分位数即中位数。同理，将频数等分为十或一百的分位数称十分位数或百分位数。其实上述各种分位数都可用百分位数表示。百分位数的符号为Px，X代表第X百分位。例如第一四分位数、中位数可分别以P25、P50表示。计算百分位数的方法与中位数相似，只是式（4.3）中的n/2以nx/100代替，M以X代替。
yixuetongjixue044.jpg　　　（4.5)
式中LX、fx、ix分别为Px所在组的下限、频数及组距。A为小于Lx各组的累计频数。
例4.2，求例4.1中住院天数的P90。
（1）计算　 yixuetongjixue045.jpg
（2）累计频数自上而下至略小于141.3，见表4.5第（4）栏，得A=135。知P90在30-35组内，因此Lx=30，i=5,fx=7
（3）代入公式
yixuetongjixue046.jpg
第90百分位数为34.5天，说明有90%的患者住院天数在34.5天以下。

（一）算术均数　简称均数。设观察了n个变量值X1，X2，……Xa，一般可直接用式（4.6）求样本均数X。 yixuetongjixue047.jpg 式中∑是总和的符号，n是样本含量即例数。本书在不会引起误解的情况下简写成 X=１/n∑X　（4.6) 例4.318-24岁非心脏疾患死亡的男子心脏重量（g）如下，求心重的均数。

350	320	260	380	270	235	285	300	300	200
275	280	290	310	300	280	300	310	310	320

X＝1/20（350+320+…+320）＝5875/20＝293.75g 样本均数是总体均数的估计值，它有两个特性。（1）∑（X-X）=0，（2）∑（X-X）2为最小，前者读者 可自证，后者证明如下： 设：a≠X，则a＝X±d　d>0 ∑(X-a)2＝∑(X-X±d)2 　　　＝∑[(X-X)±d]2 　＝∑(X-X)2±2d∑(X-X)+Nd2 从第一个特性知∑(X－X）＝0，因此2d∑（X－X）＝0， 得 ∑（X－a）2＝∑（X－X）2＋Nd2 N是例数，不可能为负，所以Nd2也不会是负数。 ∑（X－a）2＞∑（X－X）2，∑（X－X）2为最小。 当用电子计算机处理大量实验数据，考虑到有较大舍入误差时，则先取一较近均数的常数c ，然后用式（4.7）计算，可提高均数的精度。 X＝C＋1/n×（Xi－C）　　　　　　（4.7） 若每输入一个变量值后都希望得到均数，那么可用式（4.8） X＝X　n-1+1/n×（Xn-Xn-1　　　　(4.8) 例4.4 仍用例4.3资料，已算得前19例心重的X１０=292.37,又测得X20=320，求X20。 X20＝292.37+1/20×(320-292.37)=293.75g 若相同的变量值个数较多，或对频数表资料求均数时，可用式（4.9）计算X。 　或简写为X＝1/n∑fX　(4.9) 式中K为不同变量值个数，或频数表中的组段数。Xi为第i个不同的变量值或频数表上的组中值，fi为第i个变量值的频数。 例4.5 计算表4.5菌痢治愈者的平均住院天数。 X＝1/157（3×2.5+38×7.5……+1×77.5）=17.9天 式（4.9）中某变量值的频数愈大，则该变量值对X的影响亦愈大。因此，频数又称权数，这样 计算出来的均数又叫加权均数。亦有根据变量值的重要性进行加权，计算加权均数的。 （二）几何均数　设n个变量值X1，X2，……，Xa呈对数正态分布，其几何均数G为 yixuetongjixue049.jpg 式中∏为连乘的符号。当变量值较多时，乘积很大，计算不便，常改用下式计算 yixuetongjixue050.jpg(4.10) 或　　　 yixuetongjixue050.jpg(4.11) 式中符号含义同式（4.6）与式（4.9）。 例4.6　求下表中麻疹病毒特异性IgG荧光抗体的平均滴度。 表4.6　52例麻疹患者恢复期血清麻疹病毒 特异性IgG荧光抗体滴度

IgG滴度倒数	例数
40	3
80	22
160	17
320	9
640	0
1280	1

G=log-1[1/52×(3log40+22log80+…+log1280）]=129.3 麻疹患者恢复期血清麻疹病毒特异性IgG荧光抗体的平均滴度为1:129。 式（4.10）包含三个步骤，（1）令Xi=logXi，则式（4.10）可写成 ；(2)1/n∑Xi 即对数数值的均数X；（3）将X取反对数即得几何均数1og-1X=G。这里不难理解，若将这种资料作对数变换后，即可用式（4.6）至式(4.9)的各式计算均数，得到结果后再取反对数即得几何均数。读者可自已验证。

平均数是描述一群同质变量值集中位置的特征值，用来说明某现象或事物数量的中等水平。通常用平均数作为算术均数、几何均数、众数、中位数等的统称，而以均数作为算术均数的简称。 1．同质的事物或现象才能求平均数　我们检查200名正常人的红细胞数（万/mm3）计算平均数，定出正常值范围，作为诊断贫血的依据之一。如果正常人中混有贫血患者，那么求出的平均数既不能说明正常人也不能说明贫血患者，有人把它称为虚构的平均数，因为它模糊了数量特征，不能提供分析的依据了。因此计算平均数以前必须考虑资料的同质性。有人研究某药物的利尿作用，观察了二条狗、三头兔子用药前后的排尿滴数，曾将狗与兔子的排尿滴数加在一起求平均数。由于狗体大，排尿滴数较兔子的多，得到的平均数对狗来说似嫌少，而对兔子来说又显得太多，这是虚构平均数的又一例。 像狗与兔子，贫血患者与正常人的不同质是显而易见的。但即使是正常人，性别、年龄、地区不同，红细胞数的均数也有差异。那么怎样才算是同质呢？是否同质，要根据研究目的而定。例如研究痢疾患者的平均治愈日数时，要考虑不同病原菌、不同型别（急性、慢性等）的患者是不同质的。但当研究传染病的住院日数时，则不同疾病（痢疾、伤寒、……）是不同质的，而所有痢疾病人，不论由何种病原菌引起，或是何种型别都认为是同质的了。若研究各医院的平均住院天数时，医院类型（传染病院、儿童医院、综合医院、……）以及同类医院中，科室（内、外、传染……）设置及床位分配不同等就是不同质的了。不同质的事物就要分组求平均数，以便分析比较。因此科学的平均数是建立在分组的基础上的。 2．用组平均数补充总平均数　表4.7是某院1983年的治愈者平均住院天数。总均数为18天。但从表中可见，它所包含的20类（其他类除外）的疾病中，变态反应及中毒、小儿科疾病住院天数最短为9天，而结核病的却长达60天。住院天数高于总均数的有10类，治愈人数共1358人，占治愈总人数（其他类除外）的35%。若医疗质量基本不变，多收结核病人，住院天数的总均数无疑会延长；而多收小儿患者，总均数就会缩短。因此如没有收容病种的分析，仅从总均数的延长或缩短来看医疗质量是不科学的。而对各时期同种疾病的住院天数进行分析，比较适宜。 表4.7某医院1983年各类疾病治愈者的平均住院天数

病类	治愈人数	平均住院天数	病类	治愈人数	平均住院天数
传染病寄生虫病	437	13	外科疾病	549	18
结核病	109	60	外伤	383	28
呼吸系疾病	246	14	肿瘤	65	34
消化系疾病	255	24	眼科疾病	112	14
内分泌疾病	41	35	耳鼻喉科疾病	417	10
循环系疾病	34	37	口腔科疾病	30	12
血液及造血系统疾病	7	33	皮肤科疾病	224	22
神经系疾病	111	25	妇产科疾病	78	12
变态反应及中毒	43	9	小儿疾病	601	9
风湿病	21	10	其他	35	19
泌尿系疾病	129	21	合计	3927	18

3．根据资料的分布选用适当的平均数　计量资料如是单峰对称分布，宜用均数，亦可用中位数。若是偏态分布则中位数的代表性常较均数为好。某些传染病的潜伏期、抗体滴度、细菌计数、率或比的变化速度及某些物质浓度等，其频数分布明显偏态，但经对数代换后近于正态分布的，如图4.3资料，应计算几何均数以描述其中等水平。

设有甲乙两人，对同一名患者采耳垂血，检查红细胞数（万/mm3），每人数五个计数盘，得结果为

						合计	均数
甲	480	490	500	510	520	2500	500
乙	440	460	500	540	560	2500	500

两人计数的均数都是500，能说两人的检验技术相同吗？不能，因为甲的计数结果比较密集，而乙的分散，因此甲的检验精度显然比乙的高。从上可以看出：描述一群变量值，除用平均数等表示其集中位置外，还要说明其分散或变异情况。说明变异情况的特征值称变异指标。变异指标的种类较多，下面分别介绍极差、四分位数间距、均差、方差、标准差及变异系数。 1．极差　最大值与最小值之差称极差（或全距），符号为R，是变异指标中最简单的一种。如上例甲计数的极差为520－480=40，乙的为560-440=120。可见乙的计数较甲的波动大。一般把最小值与最大值写在括号里，附在极差的后面。如上例写成40（480～520）与120（440～560）。其单位与变量值的相同。 当调查例数增多时，遇到较大或较小极端值的机会就加大，因此最大值与极差随着例数的增多而加大，但最小值却随着例数的增多而变小。 极差计算简便，但只考虑了最小、最大值，因此易受个别极端值的影响，且随例数的多少而变动，不稳定。仅用于粗略地说明变量值的变动范围。但在正态分布中可用以估计标准值范围，详见有关文献。 2．四分位数间距　极差的不稳定主要是受两极端数值的影响，于是有人将两端数据按比例去掉一定例数，这样所得数据就比较稳定了。例如两端各去掉25%，取中间50%数据的数值范围，那么只要计算P25与P75，求P75与P25之差即得四分位数间距，符号为Q。 Q=P75-P25 （4.12） 例4.7　试计算表4.8七岁男童坐高的四分位数间距 求 P25的位置102×.25=.25.5. 求 P75的位置102×.75=.76.5. 求累计频数得： L25=65，L75=68， A25=22，A75=75， f25=15, f75=13,i=1 表4.8　7岁男童的坐高

坐高(cm)	例数(f)	累计频数
61-	1	1
62-	3	4
63-	4	8
64-	14	22
65-	15	37
66-	21	58
67-	17	75
68-	13	88
69-	7	95
70-	5	100
71-	2	102
合计	102	—

代入式（4.5）得： yixuetongjixue052.jpg Q=68.12-65.23=2.89 cm 有50%的7岁男童，坐高在65.23～68.12cm之间，其四分位数间距为2.89cm。 3．均差　四分位数间距虽比极差稳定，但仍只是两点之间的距离，没有利用每个变量值的信息。于是有人计算每个变量值与均数（或中位数）差的绝对值之和，然后平均称为均差（或平均直线差）作为变异指标之一。 yixuetongjixue053.jpg　　(4.13) 例4.8 试计算4.3中，心重的均差。 由例4.3知X=293.75g，代入式（4.13）得 yixuetongjixue054.jpg 4．方差　式式（4.13）中用变量值与均数之差的绝对值之和∑∣X-X∣，而不用离均差之和∑(X-X)是因为∑（X-X）=0，不能说明变异情况，故取绝对值以去掉负号。亦有人用平方的办法，即用离均差平方和∑（X-x ）2，既去掉了负号，又提高了指标的灵敏性。因为数值愈大，平方后增大的愈多，所以离均差稍有变化，就能从指标上反映出来。例如有甲乙两组数据如下：

						X	∑∣X-X∣	∑(X-X)2
甲组	10	11	12	13	14	12	6	10
乙组	9	12	12	13	14	12	6	14

乙组仅有两个数据与甲组的不同，这种不同从∑∣X-X∣或均差上是反映不出来的，但从∑（X-X）2上却反映出来了。以∑（X-X）2组成的变异指标有方差与标准差。方差是标准差的平方，将在第八章讨论，下面先介绍标准差。

1．标准差的公式　样本标准差是用得最多的变异指标，其公式为
yixuetongjixue055.jpg　(4.14)
式（4.14）中的n-1是自由度。n个变量值本有n个自由度，但计算标准差时用了样本均数X，因此就受到了一个条件即∑X= nX的限制。例如有4个数据，它们的均数为5。由于受到均数为5的限制，4个数据中只有3个可以任意指定。如果任意指定的是4、3、6，那么第4个数据只能是7，否则均数就不是5了。所以标准差的自由度为n-1。
2．标准差的计算
（1）按基本公式（4.14）计算
例4.9 用例4.3资料计算心重的标准差。
已算得X=293.75g，代入式（4.14）得
yixuetongjixue056.jpg
（2）递推法当用电子计算机进行计算，希望每输入一个数据，都能得到X与S，则将式（4.8）与式
（4.5）配合计算。
yixuetongjixue057.jpg(4.15)
这里Sn表示n个数据的标准差，Sn-1表示n-1个数据的标准差。Xn是第n个数据，Xn-1是n-1个数据的均数。
例4.10 仍用例4.3资料，已算得前19例心重的X19=292.37，S19=38.71。X20=320，代入式（4.15）得
yixuetongjixue058.jpg
（3）直接法 不需先计算均数，直接用变量值代入式（4.16）或式(1.17)计算。
yixuetongjixue059.jpg（4.16)
或　　yixuetongjixue060.jpg(4.17)
式（4.16）的分子是由式（4.14）的分子简化而得来的，证明如下。
yixuetongjixue061.jpg
例4．11用ELISA（酶联免疫吸附测定）法检测vero-E6，细胞培养上清正常标本10份的结果（100XOD490值）为2，3，3，4，4，5，5，5，6，8，求标准差。
若用式（4.16）则先计算
∑X=2+3+3+…+6+8=45
∑X2=22+32+32+…62+82=229
若用式（4.17）则先计算
∑fX=1×2+2×3+…+1×6+1×8=45
∑fX2=1×22+2×32+…1×62+1×82=229
然后代入式（4.16）或式（1.17）结果相同。
yixuetongjixue062.jpg

上述各种变异指标可用来比较同类事物变量值间的变异情况。各变异指标的共同点是：值小表示变量值密集，值大表示变量值分散。但在有些情况下用标准差等变异指标来比较就不适宜了。如某地7岁男童身高均数为123.10cm ，标准差为4.71cm;体重的均数为22.29kg，标准差为2.26kg。由于单位不同，我们不能因为4.71>2.26而说身高的变异大于体重，需要有另一个指标，它不受单位的限制，那就是变异系数，其公式为： CV=S/X×100%，X>0　　　　（4.18） 也就是将标准差化为各自均数的百分数，然后比较。这样不但可以比较单位不同的变量值间的变异，而且可以比较均数相差悬殊的变量值间的变异。 上述7岁男童身高、体重的变异系数分别为 身高CV=4.17/123.10×100%=3.83% 体重CV=2.26/22.29×100%=10.14% 可见同一批儿童的体重变异比身高的大。 例4．12被试者9人，试验时坐在舒适的牙科椅上测口腔压力波幅PcmAq（厘米水柱）。然后外加呼吸阻力20cmAq（1/sec），5分钟时再测口腔压力波幅结果如下。试比较外加呼吸阻力前后，口腔压力波幅的变异。 表4.9　外加呼吸阻力前后的口腔压力波幅 口腔压力波幅，cmAg

	口腔压力波幅，cmAg
	X	S	CV（%）
加阻力前	1.218	0.256	21.019
加阻力后	7.240	0.633	8.741

外阻力前口腔压力波幅的变异较大。 外加呼吸阻力前后的口腔压力波幅的单位都是cmAq，如直接比较两个标准差，可能会得出加阻力后数值变异较大的结论。但由于两均数相差悬殊，加阻力后的均数几乎是加阻力前的6倍，因此就不宜直接比较标准差而应比较它们的变异系数。 变异系数还常用于比较多个样品重复测定的误差等。 运用变异系数时应注意（1）有关的事物间才能作比较，不要将风马牛不相及的东西硬拉在一起作比较；（2）均数小于标准差时应考虑其实际运用价值。因为在这种情况下，可能誇大变异，故不宜使用；（3）比较两变异系数间是否真有差别，亦应作假设检验，不能只看表面值就下结论。 [附]比较两变异系数可用u检验，其公式为 yixuetongjixue063.jpg 式中V为以小数表示的变异系数，SV2是变异系数的标准误的平方，n是样本含量。u是正态离差系数。 例4．13比较例4.12中两总体变异系数间有无差别。 H0：两总体变异系数相等 H1：两总体变异系数不等 α=0.05 yixuetongjixue064.jpg u>u0.05,0.05>P>0.01,在α=0.05的水准处拒绝H0，接受H1，两总体变异系数不等。外加呼吸阻力前的口腔压力波幅的变异较大。

1．变异指标表示变量值的变异情况或离中趋势，常与位置指标平均数结合运用，说明变量值集中的位置与离散程度。
2．变异指标种类虽多，但任一变异指标，其值大表示变异大，数值参差甚；值小表示变异小，数值较集中。比较两个或几个同类事物的变异，要用同一变异指标。
3．正态分布资料宜用均数与标准差（有时用方差）描述集中与离散情况，记为X±S。有了均数与标准差就可根据正态分布理论将频数分布描绘出来，进一步可作正常值范围估计与假设检验等（详见第五至第七章），应用较广。为便于计算，正态分布资料亦可用中位数、百分位数和四分位数间距等描述，其结果与用均数、标准差相近。
偏态分布资料宜用中位数及四分位数间距、均差等描述。尤其在资料分布呈明显偏态时，随着例数的增多，中位数、四分位数间距及均差的代表性和稳定性明显优于均数、标准差及方差。
众数和极差只用来对单峰资料作概括的描述。
4. 比较几组资料的变异程度，若各组资料的单位不全相同，或均数相差悬殊时，用变异系数。
5．判断几个方差或变异系数间有无显著差别，需作假设检验，不能只看表面值。详见第七、第八章有关内容。

1．

19.0	12.0	14.0	14.0	8.2	13.0	6.5	12.0	15.0	17.2
12.0	12.7	25.0	8.5	20.0	17.0	8.4	8.0	13.0	15.0
20.0	13.0	13.0	14.0	15.0	7.9	10.5	9.5	10.0	12.0
6.5	11.0	12.5	7.5	14.5	17.5	12.0	10.0	11.0	11.5
16.0	13.0	10.5	11.0	14.0	7.5	14.0	11.4	9.0	11.1
10.0	10.5	8.0	12.0	11.5	19.0	10.0	9.0	19.0	10.0
22.0	9.0	12.0	8.0	14.0	10.0	11.5	11.0	15.0	16.0
8.0	15.0	9.9	8.5	12.5	9.6	18.5	11.0	12.0	12.0

2．测得某地300名正常人尿汞值，其频数表如下。试计算均数、中位数、何者代表性较好。 300例正常人尿汞值（μg/l）频数表

尿汞值	例　数	尿汞值	例　数	尿汞值	例　数
0-	49	24-	16	48-	3
4-	27	28-	9	52-	—
8-	58	32-	9	56-	2
12-	50	36-	4	60-	—
16-	45	40-	5	64-	—
20-	22	44-	—	68-	1

3．将表4.4资料分别用0.5cm、2cm为组距编制频数表，并与表4.3的频数分布进行比较，你认为何者显示变量值分布的特征较好？ 4．有5个变量值7、9、10、14、15，试计算X及∑（X-x ）。 5．下表为10例垂体催乳素微腺瘤经蝶手术前后的血催乳素浓度，试分别求术前、术后的均数，标准差及变异系数。应以何指标比较手术前后数据的变异情况？能说手术前数据的变异大吗？为什么？ 手术前后患者血催乳素浓度（mg/ml）

例号	血催乳素浓度		例号	血催乳素浓度
术　前	术　后	术　前		术　后
1	276	41	6	266	43
2	880	110	7	500	25
3	1600	280	8	1700	300
4	324	61	9	500	215
5	398	105	10	220	92

（资料来源：中华医学杂志，63（12）P730，1983 6．某地微丝蚴血症者42例治疗后7年用间接荧光抗体试验测得抗体滴度如下。求平均滴度。

抗体滴度的倒数	10	20	40	80	180
例　数	5	12	13	7	5

（资料来源：中华预防医学杂志：17（1），P22，1983）