第五章 标准误与可信区间

在第一章第二节曾提到过样本与总体以及抽样误差的概念，那里谈到，由于存在人与人之间的个体差异，即使从同一总体用同样方法随机抽取例数相同的一些样本，各样本算得的某种指标，如平均数（或率），通常也参差不齐存在一定的差异。样本指标与相应的总体指标之间有或多或少的相差，这一点是不难理解的。如某医生从某地抽了120名12岁男孩，测量其身高，计算出均数为143.10cm，若再从该地抽120名12岁男孩，其平均身高未必仍等于143.10cm，也不一定恰好等于某市12岁男孩身高的总体均数，这种差异，即由于抽样而带来的样本与总体间的误差，统计上叫抽样波动或抽样误差。
抽样误差和系统误差不一样，关系系统误差，当人们一旦发现它之后，是可能找到产生原因而采取一定措施加以纠正的，抽样误差则无法避免。因为客观上既然存在个体差异，那么刚巧这一样本中多抽到几例数值大些的，所求样本均数就会稍大，另一样本多抽到几例数值小些，该样本均数就会稍小，这是不言而喻的。
抽样误差既是样本指标与总体指标之间的误差，那么抽样误差小就表示从样本算得的平均数或率与总体的较接近，有样本代表总体说明其特征的可靠性亦大。但是，通常总体均数或总体率我们并不知道，所以抽样误差的数量大小，不能直观地加以说明，只能通过抽样实验来了解抽样误差的规律性。

为了表示个体差异的大小，或者说表示某一变量变异程度的大小，可计算标准差等变异指标来说明，现在我们要表示抽样误差的大小，如要问，从同一总体抽取类似的许多样本，各样本均数（或各率）之间的变异程度如何？也可用变异指标来说明。这种指标是： （一）均数的标准误　为了表示均数的抽样误差大小如何，用的一种指标称为均数的标准误。我们以样本均数为变量，求出它们的标准差即可表示其变异程度，所以将样本均数这“标准差”定名为均数的标准误，简称标准误，以区别于通常所说的标准差。标准差表示个体值的散布情形，而标准误则说明样本均数的参差情况，两者不能混淆。下面用抽样实验进一步说明之。 将100名正常人的红细胞数（万/mm3）写在100颗大小均匀的豌豆上。这些红细胞数见表6.1，其均数为500，标准差为43。把这些豌豆放在一个口袋里，彻底混匀后取出一颗，记下红细胞数，放回袋内，混匀后再取出一颗，记下数字后再放回去，如此继续下去，这是一个取不完的总体，这样每取10个数字作为一个样本，共抽取了一百个样本，并计算每一样本的均数与标准差，例见表6.2。 表6.1　红细胞数抽样实验用的正态总体 μ=500 σ=43（单位：万/立方厘米）

383	410	422	429	430	431	435	442	442	444
445	449	450	452	455	456	459	461	462	463
465	466	468	469	470	471	472	473	476	477
478	479	480	481	482	484	485	486	487	488
489	491	492	493	494	495	496	497	498	499
500	501	502	503	504	505	506	507	508	509
511	512	513	514	515	516	518	519	520	521
522	523	524	527	528	529	530	531	532	534
535	537	538	539	541	544	545	548	550	551
555	556	558	565	569	578	590	599	600	617

表6.2　红细胞数抽样实验中的样本举例

样本号	红细胞数（万/立方毫米），X										X	S
1	383	599	534	442	435	486	478	476	509	544	488.6	61.65
2	503	506	520	503	489	410	528	488	509	527	498.3	33.97
3	478	463	617	544	498	485	496	462	482	569	509.4	50.96
4	529	465	535	473	531	532	556	521	459	383	498.4	52.63
5	442	493	462	527	520	519	521	512	482	471	494.9	29.51
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第一号样本均数与标准差的计算： X＝4.886/10=488.6 yixuetongjixue075.jpg 将一百个样本均数加总，得到的数值为50,096.7,又这一百个样本均数平方之和为25,114，830.91，于是代入标准差的计算公式，求得一百个样本均数的标准差又称标准误为 yixuetongjixue076.jpg 当总体标准差已知时，可计算理论的标准误σχ，公式是 yixuetongjixue077.jpg(6.1) 表6.1抽样实验用的总体标准差是43，每个样本的例数是10，代入公式得 yixuetongjixue078.jpg 可见由一百个样本均数求得的标准误13.50与理论的标准误13.60比较接近。 在实际工作中，总体标准差往往并不知道，也不象抽样实验那样从同一总体随机抽取n相等的许多样本，而是只有手头一个样本。在此情况下，只能以样本标准差S作为总体标准差σ的估计值。这样，公式6.1中的σ就要用S代替，σχ改为Sχ，以资区别。 yixuetongjixue079.jpg(6.2) 将第1号样本的标准差及例数代入式6.2，得 yixuetongjixue080.jpg 再若将第2号样本的数字代入，Sχ将成为10.74，余类推。由于不同样本的标准差并不相等，可见Sχ也有抽样波动，这一点是值得注意的，但它仍不失为σχ的较好估计值。 以上介绍了求标准误的三种方法，其实我们平常用的只是式6.2，而通过前两种方法的对比则可使我们明瞭标准误的含义。标准误是描述样本均数变异情况的一个指标，它的大小与总体标准差σ（一般只能用S估计）成正比，而与样本含量n的平方根成反比，因此若标准差小或样本含量大时，求出的标准误就小（标准误小表示样本均数与总体均数较接近），X代表μ较可靠，所以假若手头资料中观察值的变异程度较大（S大）时，为了保 证样本代表总体比较可靠，就得适当增大样本含量（n）。 （二）率的标准误　若总体包括某事件的发生数与未发生数两类，所化成的比例或成数即为总体发生率（符号π）与未发生率（１-π）。从总体中随机抽取许多样本(n相等)，算出各个样本率（用P表示），会是或大或小有波动的。为了表示样本率之间或样本率与总体率之间的差异程度，当总体率π已知时，可计算理论的标误σp,其公式是 yixuetongjixue081.jpg(6.3) 实际工作中往往不知道总体率π这时只能以样本率P作为总体率π的估计值，求得率的标准误，并用SP表示，计算公式为 yixuetongjixue082.jpg(6.4) 现举例说明其求法。 例6.1　某医生检测了110名成年健康人的尿紫质，发现阳性者11人，阴性者99人，于是算得阳性率P及率的标准误SP如下： P=11/110×100%=10%　（用小数表示为0.10） yixuetongjixue083.jpg 若要进一步增强样本率估计总体率的可靠性，可加大样本含量。

从同一总体里随机抽取n相同的许多样本，这些样本均数吴正态分布。如前面所述正常人红细胞数的抽样实验中已求得100个样本均数，其中多数与总体均数μ比较接近而集中分布在其周围，且左右基本对称，见表6.3（此表由表6.4中的100个均数划记归组而得）。 表6.3　红细胞抽样实验中100个样本均数的分布

组　段	460-	470-	480-	490-	500-	510-	520-	530-	540-	合计
样本数	1	3	18	28	28	13	7	1	1	100

表6.4　一百个样本的均数、标准差、95%可信区间

样本号	均数	标准差		95%可信区间	样本号	均数	标准差	95%可信区间
1	488.6	61.65		444.49～532.71	2	498.3	33.97	474.01～522.59
3	509.4	50.96		472.96～545.84	4	498.4	52.63	460.76～536.04
5	494.9	29.51		473.80～516.00	6	°546.7	43.23	515.78～577.62*
7	524.5	33.60		500.45～548.55*	8	488.3	41.04	458.94～517.66
9	485.3	55.14		445.85～524.75	10	502.6	48.55	467.88～537.32
11	495.1	40.63		466.03～524.17	12	524.7	37.81	497.65～551.75
13	512.7	53.18		474.65～550.75	14	494.8	37.24	468.15～521.45
15	493.6	39.94		465.03～522.17	16	495.3	29.47	474.22～516.38
17	491.0	19.32		477.18～504.82	18	506.5	53.83	468.00～545.00
19	487.5	39.39		461.32～517.68	20	495.9	32.70	472.51～519.29
21	504.8	34.76		479.94～529.66	22	512.2	44.76	483.17～547.23
23	496.5	40.65		467.41～525.59	24	499.8	37.04	473.31～526.29
25	505.7	37.21		479.08～532.32	26	487.7	34.50	463.02～512.38
27	501.5	37.35		474.79～528.21	28	476.1	29.64	454.91～497.29*
29	523.2	51.57		486.31～560.09	30	509.5	33.61	485.45～533.55
31	494.2	28.60	473.75～514.65	32	506.2	25.29	483.10～524.30
33	501.1	27.88	481.15～521.05	34	520.6	30.23	498.98～542.22
35	492.0	42.18	461.82～522.18	36	509.6	19.17	495.89～523.31
37	488.6	42.29	458.36～518.84	38	510.9	47.55	476.88～544.92
39	516.4	39.96	487.81～544.99	40	518.8	46.43	485.59～552.01
41	495.9	36.89	469.53～522.27	42	°526.4	42.78	495.80～557.00
43	505.8	53.84	467.30～544.30	44	503.0	47.33	469.14～536.86
45	504.8	47.77	470.62～538.98	46	492.4	29.20	471.52～513.28
47	505.5	38.32	478.08～532.92	48	486.5	52.98	448.59～524.41
49	515.2	38.69	487.51～542.89	50	487.0	53.75	448.55～525.45
51	503.3	51.54	466.43～540.17	52	491.0	58.47	449.18～532.82
53	522.3	65.01	475.79～568.81	54	490.3	49.92	454.58～526.02
55	516.7	37.26	490.05～543.35	56	489.6	31.41	467.14～512.06
57	490.0	62.90	445.01～534.99	58	489.2	30.91	467.09～511.31
59	509.1	40.51	480.12～538.08	60	513.5	29.18	492.62～534.38
61	476.4	42.06	446.32～506.48	62	511.5	28.46	491.14～531.86
63	480.7	44.83	448.62～512.78	64	501.4	29.00	480.66～522.14
65	481.1	50.65	444.86～517.34	66	496.0	36.53	469.87～522.13
67	489.2	44.20	457.58～520.82	68	494.8	29.73	473.54～516.06
69	497.2	68.49	448.21～546.19	70	504.1	35.13	478.95～529.25
71	507.9	34.35	483.33～532.47	72	°465.3	25.56	447.02～483.58*
73	502.6	45.54	470.03～535.17	74	486.4	48.51	451.70～521.10
75	°526.6	32.68	503.10～550.10*	76	503.2	47.18	469.45～536.95
77	496.7	33.45	472.77～520.63	78	504.8	43.52	473.67～535.93
79	490.2	58.07	448.67～531.73	80	486.6	26.60	467.57～505.63
81	506.1	28.48	485.72～526.48	82	513.7	29.28	492.75～534.65
83	481.5	29.78	460.19～502.81	84	491.2	44.73	459.22～523.18
85	515.7	25.78	497.26～534.14	86	513.9	64.62	467.69～560.11
87	496.4	23.82	479.37～513.43	88	507.4	45.14	475.10～539.70
89	479.1	44.15	465.52～528.68	90	498.9	30.16	477.32～520.48
91	503.7	53.90	465.16～542.24	92	495.9	30.86	473.78～518.02
93	494.6	58.48	452.78～536.42	94	507.1	42.44	476.74～537.46
95	488.5	36.15	462.65～514.35	96	489.1	68.01	440.44～537.76
97	°530.1	58.72	488.09～572.11	98	518.7	45.10	486.44～550.96
99	507.8	41.87	477.85～537.73	100	540.6	55.17	465.13～544.07

已知按正态分布，理论上有95%的变量值分布在均数加、减1.96倍标准差（样本均数的标准差称标准误）的范围内，这里也即100个样本均数中有95个分布在500－1.96(13.60)=473.34至500+1.96(13.60)=526.66的范围内。现看表6.4，在100个样本均数中，第6号（546.7）、第72号（465.3）、第97号(530.1)在上述范围之外，第42号(526.4)及第75号(526.6)就在临界值附近，其余95个（若将第42及75号计算在内则为97个）样本均数在此范围之内，将实际分布与理论分布相对照见下表6.5。100个样本均数的实际分布与正态分布的理论基本符合。

从数理统计的理论上讲，并且上节的实例也已说明，在总体均数为μ，总体标准差为σ的正态总体中随机抽取n相等的许多样本，分别算出样本均数，这些样本均数呈正态分布。而当样本含量n不太小时，即使总体不呈正态分布，样本均数的分布也接近正态。在下式中，
yixuetongjixue084.jpg
由于μ与（样本均数的标准差）都是常量，又
X呈正态分布，所以u
也呈正态分布。但实际上总体标准差往往是不知道的，上式分母中的σ要由S替代，成为 yixuetongjixue085.jpg，那么由于样本标
准差有抽样波动，SX也有抽样波动，于是，在用S代替σ
后上式等号右边的变量便不呈正态分布而呈t分布，其定义公式是
yixuetongjixue086.jpg（6.5)
t分布也是左右对称，但在总体均数附近的面积较正态分布的少些，两端尾部的面积则比正态分布的多些。t分布曲线随自由度而不同（如图6.1）。随着自由度的增大，t分布逐渐接近正态分布，当自由度为无限大时，t分布成为正态分布。
yixuetongjixue086.jpg
图6.1　t分布（实线）与正态分布（虚线）
与正态分布相似，我们把t分布左右两端尾部面积之和α=0.05（即每侧尾部面积为0.025）相应的t值称为5%界，符号为t0.05,,，这里ν是自由度。把左右两端尾部面积之和α为0.01相应的t值称为1%界，符号为t0.01,,。t的5%界与1%界可查附表3，t值表。例如当自由度为10-1=9时，t0.05,9=2.262，t0.01,9=3.250。

一组调查或实验数据，如果是计量资料可求得平均数，标准差等统计指标，如果是计数资料则求百分率藉以概括说明这群观察数据的特征，故称特征值。由于样本特征值是通过统计求得的，所以又称为统计量以区别于总体特征值。总体特征值一般称为参数（总体量）。我们进行科研所要探索的是总体特征值即总体参数，而我们得到的却是样本统计量，用样本统计量估计或推论总体参数的过程叫参数估计。
本章第一节例6.1通过检查110个健康成人的尿紫质算得阳性率为10%，这是样本率，可用它来估计总体率，说明健康成人的尿紫质阳性率水平，这样的估计叫“点估计”。但由于存在抽样误差，不同样本（如再检查110人）可能得到不同的估计值。因此我们常用“区间估计”总体率（或总体均数）大概在那一个范围内，这个范围就叫可信区间。区间小的一端叫下限，大的一端叫上限。常用的有95%可信区间与99%可信区间。根据同一资料所作95%可信区间比99%可信区间窄些（上、下限较靠近），但估计错误的概率后者为1%，前者为5%，进行总体参数的区间估计时可根据研究目的与标准误的大小选用95%、或99%。

为了说明常用的总体均数之区间估计法，我们不妨回顾一下上节所叙的t分布。 由求t的基本公式 yixuetongjixue087.jpg 我们看到X与μ的距离等于t（SX），又根据X集中分布在μ周围的特点，若取t的5% 界即t0.05,,（或1%界）乘以SX作为X与μ的距离范围，就可用式（6.6）或式(6.7)求 出区间来估计总体均数μ所在范围，估错的概率仅有5%或1%，因此称95%或99%可信区间。下面用实例说明其求法。 95%可信区间　X-t0.05,νSX<μ样本号X95%可信区间6546.7515.78～577.627524.5500.45～548.5528476.1454.91～497.2972465.3447.02～483.5875526.6503.10～550.10 平时我们并不重复抽取许多样本来一次次估计总体均数而仅是一次，至于算出的均数会类似一百个样本均数中的那一个就很难说了。如果不遇到类似上列那些均数过大或过小的样本，求出可信区间后总体均数真是在该区间内，那么便是一次成功的估计：但是极少数情况下我们也会遇到极端的样本，以至总体均数并不在我们提出的区间内。不过，我们具体所作的这次估计到底属于前种情况还是后一种，这是无法知道的，因为我们不知道μ是多少（若已知μ便不必估计它了）。然而象后种情况那样作出错估的概率终究很小，只5%或1%，所以用这样的方法估计总体均数还是可行的。

上面已经提到，计数资料可以计算相对数（率）。我们若由样本统计量P估计总体参数π，同样要考虑率的抽样误差，据数理统计研究结果，样本率的分布也近似正态分布，尤其当π比较靠近50%且样本较大时。于是对样本，百分率的可信区间可利用正态分布规律估计，公式是：
95%可信区间　P-1.96Sp<π
99%可信区间　P-2.58Sp<π
（按正态分布，双侧尾部面积α=0.05时的u值为1.96，α=0.01时的u值为2.58，故用这两式求可信区间时不必查表找临界u值，记住这两数即可。）
例6.3　某医院收治200例急性菌痢患者，其中粪便细菌培养阳性者共80例，试估计菌痢细菌培养的总体阳性率95%与99%可信区间。
1.求阳性率　P＝80／200×100％＝40％　（或0.40）
yixuetongjixue089.jpg
3．求可信区间
95%可信区间　40%-1.96(3.46%)<π<40%+1.96(3.46%)，即估计π在33.22%～46.78%之间
99%可信区间　40%-2.58(3.46%)<π<40%+2.58(3.46%)，即估计π在31.07%～48.93%之间
如果是小样本的百分率，求可信区间可通过查表获得，附表4是n为10、15、20、30时查95%与99%可信区间的一个简表。此外，统计学专著中还有更详细的表可查。

1．下列数据为某院两种疾病治愈出院者住院天数统计，试计算标准误以比较两者抽样误差的大小。

	例数n	平均数X	标准差S
杆菌痢疾	84	17.62	10.61
流行性感冒	90	6.17	3.49

2．淮南第三药厂新近研制中西药结合的复方制剂安降片，经268例高血压病人临床验证。显效率达50%，试估计总体率所在的95%与99%可信区间。 3，用巯甲丙脯酸治疗心衰病人60名，治疗前心功Ⅲ级者34人，治疗后降为15人。求治疗前与治疗后心功Ⅲ级者所占百分比，再分别求其95%可信区间。 4．测定正常男、女各25人的血球压积（%）后，求得两组平均值与标准差为男：47.0±3.0,女:41.2±2.8,试求男、女血球压积（%）的99%可信区间。 5. 用氯霉素治疗急性菌疾30例，治愈21例，用磺胺治疗的一组中，20例治愈8例，求各组治愈的95%可信区间。