第六章 t检验与u检验

为了判断观察到的一组计量数据是否与其总体均数接近，两者的相差系同一总体中样本与总体之间的误差，相差不大；还是已超出抽样误差的一般允许范围而存在显着差别？应进行假设检验，下面通过实例介绍t检验的方法步骤。
例7.1　根据大量调查得知，健康成年男子脉搏均数为72次/分，某医生在某山区随机抽查健康成年男子25人，其脉搏均数为74.2次/分，标准差为6.5次/分。根据这个资料能否认为某山区健康成年男子的脉搏数与一般健康成年男子的不同？
在医学领域中有一些公认的生理常数如本例提到的健康成人平均脉搏次数72次/分，一般可看作为总体均数μ。已知在总体均数μ和总体标准差σ已知的情况下可以予测样本均数分布情况，现缺总体标准差，则需用样本标准差来估计它，那么样本均数围绕总体均数散布的情况服从t分布（尤其当样本含量n较小时，）。t分布的基本公式即6.5。
yixuetongjixue090.jpg
从式中可知，t是样本均数与总体均数之差（以标准误为单位），t的绝对值越大也即X距μ越远。在t分布中距μ越远的样本均数分布得越少（所占百分比小，P值小），后面附表3右上角的示意图中展示了这种关系，如欲知各自由度下t值与其相应的P值可查附表3。
下面回答本例提出的问题而进行假设检验。按一般步骤：
（1）提出检验假设H0与备择假设H1。本例H0为某山区成年男子的脉搏均数与一般成年男子的相等，μ=μ0=72次/分；H1为两者不相等μ≠μ0，即μ大于或小于μ0（这是双侧检验，如果事先已肯定山区人的脉搏不可能低于一般人，只检验它是否高于一般人，则应用单侧检验，H1必为μ>μ）。
（2）定显著性水准α，并查出临界t值。α是：若检验假设为真但被错误地拒绝的概率。现令α=0.05，本例自由度ν=n-1=25-1=24、查附表3得t0.05,24=2.064。若从观察资料中求出的∣t∣值小于此数，我们就接受H0；若等于或大于此值则在α=0.05水准处拒绝H0而接受H1。
（3）求样本均数X、标准差S及标准误Sχ并进而算出检验统计量t。现已知X=74.2次/分，S=6.5次/分，只要求出Sχ及t值即可。
yixuetongjixue091.jpg
（4）下结论：因∣t∣t0.05,24=2.064，所以检验假设H0得以接受，从而认为就本资料看，尚不能得出山区健康成年人的脉搏数不同于一般人而具有显著差别的结论。

上面介绍了已知总体均数时的显着性检验方法，但有时我们并不知道总体均数，且医学数据资料中更为常见的是成对资料，若一批某病病人治疗前有某项测定记录，治疗后再次测定以观察疗效，这样，观察n例就有n对数据，这即是成对资料（也可对动物做成病理模型进行治疗实验以收集类似的成对资料）；如果有两种处理要比较，将每一份标本分成两份各接受一种处理，这样观察到的一批数据也是成对资料，医学科研中有时无法对同一批对象进行前后或对应观察，而只得将病人（或实验动物）配成对子，尽量使同对中的两者在性别、年龄或其它可能会影响处理效果的各种条件方面极为相似，然后分别给以一种不同的处理后观察反应，这样获得的许多对不可拆散的数据同样是成对资料。由于成对资料可控制个体差异使之较小，故检验效率是较高的。 关于成对资料，每对数据始终相联这是它的特点，我们可以先初步观察每对数据的差别情况，进一步算出平均相差作为样本均数，再与假设的总体均数比较看相差是否显著，下面举实例说明检验过程。 表 7.1　豚鼠注入上腺素前后每分钟灌流滴数

豚鼠号	每分钟灌流滴数
用药前	用药后	增加数d
1	30	46	16
2	38	50	12
3	48	52	4
4	48	52	4
5	60	58	-2
6	46	64	18
7	26	56	30
8	58	54	-4
9	46	54	8
10	48	58	10
11	44	36	-8
12	46	54	8
总 计	—	—	96

例7.2　为了验证肾上腺素有无降低呼吸道阻力的作用，以豚鼠12只，进行支气管灌流实验，在注入定量肾上腺素前后，测定每分钟灌流滴数，结果见表7.1，问用药后灌流速度有无显著增加？ （1）假设用药前后灌流滴数相同，则相差的总体均数μ为0；即H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0。 （2）令显著性水准α=0.05，由本例ν=12-1=11查得临界值t0.05,11=2.201。 （3）求样本统计量平均相差数d、差数的标准差Sd、标准误Sd及检验统计量t值。 yixuetongjixue092.jpg （4）下结论。今∣t∣t0.05,11，p <0.05，故认为检验假设μ=μ0难以接受，在α=0.05水准外拒绝HO而接受H1，相差显著，注入肾上腺素后每分钟灌流滴数比注射前要多。 例7.3　从以往资料发现，慢性支气管炎病人血中胆碱酯酶活性常常偏高。某校药理教研室将同性别同年龄的病人与健康人配成8对，测量该值加以比较，资料如下。问可否通过这一资料得出较为明确的结论？ 表7.2　慢性气管炎病人与健康人血液胆碱酯酶活性测定（μM/ml）

对子序号	病人组，X1	健康人组，X2	差数 D=X1-X2
1	3．28	2．36	0．92
2	2．60	2．40	0．20
3	3．32	2．40	0．92
4	2．72	2．52	0．20
5	2．38	3．04	-0.66
6	3．64	2．64	1．00
7	2．98	2．56	0．42
8	4．40	2．40	2．00

（1）检验假设H0：μ=μ0；H1：μ>μ0 （2）令α=0.05，得t0.05,7=1.895(单侧) （3）用差数求统计量 yixuetongjixue093.jpg （4）结论∣t∣=2.264>t0.05,7=1.895,P<0.05,在α=0.05水准处拒绝H0，接受备择假设，认为慢性气管炎病人血中胆碱酯酶高于正常人。 上例用了单侧检验是因为事先并不认为该类病人血中胆碱酯含量会出现低于健康人的情况。

在日常工作中，我们经常要比较某两组计量资料的均数间有无显着差别，如研究不同疗法的降压效果或两种不同制剂对杀灭鼠体内钩虫的效果（条数）等。这时假若事先难以找到年龄、性别等条件完全一样的人（或动物）作配对比较，那么不能求每对的差数只能先算出各组的均数，然后进行比较。两组例数可以相等也可稍有出入。检验的方法同样是先假定两组相应的总体均数相等，看两组均数实际相差与此假设是否靠近，近则把相差看成抽样误差表现，远到一定界限则认为由抽样误差造成这样大的相差的可能性实在太小，拒绝假设而接受H1,作出两总体不相等的结论。 例7.4　为观察中成药青黛明矾片对急性黄疸肝炎的退黄效果，以单用输液保肝的病人作为对照进行了观察，两组患者均为成人，黄疸指数在30-50之间，各人退黄天数如下，试比较用药组（1组）与对照组（2组）退黄天数有无显著差别。 表7.3　急性黄疸性肝炎病人的退黄天数

中药组，X1	5	10	14	21	17		∑X1=67
对照组，X2	18	21	30	23	22	22	∑X2=136

（1）检验假设　设该药对缩短退黄天数无效，两组的总体均数相等，即H0=μ1=μ2；H1：μ1≠μ2。 （2）求自由度ν ν=n1+n2-2 =5+6-2=9　(7.1) 定α=0.05，ν=9时的t值为t0.05,9=2.262 （3）计算各组均数，合并方差S2c及两均数相差的标准误Sχ1-χ2，然后求t值。 yixuetongjixue094.jpg 合并方差： (7.2) 代入得 两均数相差的标准误： yixuetongjixue097.jpg　(7.3) 代入得 yixuetongjixue098.jpg 求t： yixuetongjixue099.jpg(7.4) （4）下结论　因│t┃>t0.05,9,P<0.02，所以我们在α=0.05水准处拒绝H0而接受H1，两者平均退黄天数和有显著差别，服青黛明矾片药的病人退黄天数较短。如果检验假设属实，这样的结论也还可能下错，但概率在2%以下。 上例为两组资料均数间的比较，与前面成对资料的t检验有些区别。前者每对中两数据不能分离，后者任一组中的各数据可以在组内前后互换位置；前者只有一个样本平均差数d对应于一个假设的总体平均差数μ0，后者，认为X1为第一个总体的随机样本均数，X2则来自μ2，所以后者要计算两组合并的方差S2c(方差是标准差的平方)。再者，与前者相比标准误、自由度的计算方法也不相同。 例7.5　某人测定半岁至1岁小儿、7至8岁儿童各9人的免疫球蛋白IgG（国际单位/ml），算得平均数与标准差前者（第1组）为55.1± 11.5,后者（第2组）为 95.5 ±17.8，试检验这两种不同年龄的人免疫球蛋白IgG有无显著差别。 （1）检验假设H0：μ1=μ2；H1：μ1≠μ2。 （2）令α=0.01,查自由度ν=9+9-2=16时的临界值，得t0.01,16=2.921 （3）求统计量　已知X1=55.1,X2=95.5,至于求t值时作为分母的标准误，在暂缺原始数据时由已知的两个标准差先推算出合并方差Sc2进而求出Sχ1-χ2即可，方法如下； ①一般方法；根据标准差算式 yixuetongjixue100.jpg 则 yixuetongjixue101.jpg 于是 yixuetongjixue102.jpg yixuetongjixue103.jpg 由式(7.2) yixuetongjixue104.jpg 由式（7.3） yixuetongjixue105.jpg ②在两组例数相等时也可直接用S1、S2代入下式求Sχ1-χ2，结果一样。 yixuetongjixue106.jpg 现已有了均数及标准误可由X1、X2、Sχ1-χ2求出t值。 yixuetongjixue107.jpg （4）结论　│t│>=5.719>t0.01,16=2.921,P<0.001，在α=0.01水准处拒绝H0，接受H1，两年龄组的人免疫球蛋白IgG的均数相差显著，7-8岁组的高于小几组。 关于检验水准α定在0.05还是0.01或其它处，要看检验者事先对结论的可靠性要求之高低而定。本例定α=0.01，要求是较高的，最后查出P值小于0.001就更说明X1-X2=-40.4随机来自μ1-μ2=0的假设总体的可能性是很小的。

u检验（亦称T检验），它根据正态分布规律作假设检验（显着性检验）。当样本含量增大时，样本均数的分布趋向正态，这可看图6.1，t分布曲线以ν=9的一条比ν=3的更近似正态分布，再看附表3，表最下一行ν为∞时的t分布即是正态分布。故u检验用于大样本。
在仅有一条的标准正态曲线上，以u=1.96与-1.96为界，从此处向外的尾部面积共占5%，即∣u∣≥1.96相应的P值为0.05，又∣u∣≥2.58相应的P为0.01。通常我们取α=0.05或α=0.011作为显着性检验水准，故临界值u0.05=1.963及u0.01=2.58最好能记住而省得查表。

例7.6　某工业区卫生防疫站为掌握学龄儿童免疫球蛋白水平，对一批无结核及肾炎病史，一月内无急性感染，又未进行预防接种的学生作了血清IgM（mg/dl）测定，其中12岁男孩73人的X±S为125±54，12岁女孩68人的为153±75，试比较12岁男、女孩的IgM水平有无显着差别。
这里令男生为第1组，女生为第2组。
（1）检验假设H0：μ1=μ2；H1：μ1≠μ2。
（2）定α=0.05则对应于P为0.05时的u0.05值为1.96。
（3）求两均数的相差数X1-X2、两均数相差的标准误Sχ1-χ2及u值。此外，计算Sχ1-χ2的公式为
yixuetongjixue108.jpg（7.5）
将有关数字代入得
X1-X2＝125－153＝－28
yixuetongjixue109.jpg
然后求u
yixuetongjixue110.jpg
（4）结论　因│u┃>u0.05=1.96,P<0.05。在α=0.05水准处拒绝H0而接受H1，即μ1≠μ2，故认为12岁女孩的血清免疫球蛋白IgM高于同龄男孩。

关于计数资料，求出特征数百分率后，率与率的比较一般采用第三章介绍的X2检验法，在大样本时，根据样本率分布呈正态分布的特点，也可用u检验。 例7.7　某地曾流行一种原因不明的皮炎，有关部门进行调查时，以宅旁有桑毛虫寄生树的人群为观察组（第1组），以宅旁无该树者为对照组（第2组），两组患病率如下，经显着性检验可得什么结论？ 表7.4　两组皮炎患病率

组　别	观察例数	患者	患病率（%）
观察组	144	105	72.92
对照组	139	66	47.48
合　计	283	171	60.42

（1）检验假设　HO：两组相应的总体率相等即π1=π2，H1：π1≠π2。 （2）显著性水准　为使结论更加可靠，定α=0.01，则1%界u0.01=2.58。 （3）求两样百分率的相差、两百分率相差的标准误Sp1—p2及u值。 yixuetongjixue111.jpg 式内π为两组合计百分率，此例为0.6042，见表7.4合计栏。 yixuetongjixue112.jpg（7.6） 将有关数字代入得 yixuetongjixue113.jpg （4）结论　│u│=4.379>u0.01=2.58,P<0.01，也即在α=0.01水准处拒绝H0，接受H1，即μ1≠μ2，宅旁有桑毛虫寄生树的人群皮炎患病率较高。 此外，两百率相差的标准误Sp1-p2还有近似计算公式如下； yixuetongjixue114.jpg（7.7） 式中S2P1、S5P2分别为第1、2两组百分比的标准误的平方，标准误计算公式即式（6.4） yixuetongjixue115.jpg 用上例数据代入可算得 yixuetongjixue116.jpg 这里，标准误与u值尽管和前面算得的稍有出入，但还是│u│>u0.01=2.58,P<0.01，结论相同。

检验两个样本均数相差的显着性时，我们先有假定：第一个样本系从均数为μ1、方差为σ12的正态总体中随机取出，第二个样本取自另一个类似的总体，相应的总体参数为μ2与σ22，两个总体的方差应相等即σ12=σ22，然后才可用上述方法进行显着性检验，如果资料呈显着偏态，或两组方差相差悬殊，就要考虑用第十章非参数统计方法处理，或者通过变量代换，使上述条件得到满足。那么，怎样知道手头的样本资料是否服从正态分布及两组方差是否相差显著呢？要对手头资料作正态检验及方差齐性检验。下面分别用实例介绍常用的正态性检验和两方差齐性检验的方法。

有些统计方法只适用于正态分布或近似正态分布资料，如用均数和标准差描述资料的集中或离散情况，用正态分布法确定正常值范围及用t检验两均数间相差是否显着等，因此在用这些方法前，需考虑进行正态性检验。 正态分布的特征是对称和正态峰。分布对称时众数和均数密合，若均数-众数>0，称正偏态。因为有少数变量值很大，使曲线右侧尾部拖得很长，故又称右偏态；若均数-众数<0称负偏态。因为有少数变量值很小，使曲线左侧尾部拖得很长，故又称左偏态，见图7.1(a)。 正态曲线的峰度叫正态峰，见图7.1(b)中的虚线，离均数近的或很远的变量值都较正态峰的多的称尖峭峰，离均数近或很远变量值都较正态峰的少的称平阔峰。 yixuetongjixue117.jpg频数分布的偏度和峰度 图7.1　频数分布的偏度和峰度 正态性检验的方法有两类。一类对偏度、峰度只用一个指标综合检验，另一类是对两者各用一个指标检验，前者有W法、D法、正态概率纸法等，后者有动差法亦称矩法。现仅将W法与动差法分述于下； 1．W法　此法宜用于小样本资料的正态性检验，尤其是n≤50时，检验步骤如下； （1）将n个变量值Xi从小至大排队编秩。 X1W（n，α）则在α水准上按受H0，资料来自正态分布总体，或服从正态分布；若W≤W（n，α），则在α水准上拒绝H0，接受H1，资料非正态。 例7.8　测得20例40—49岁健康人右侧腓总神经的传导速度（m/sec）如表7.5第（2）、第（3）栏，试检验此资料是否服从正态分布。 H0：总体服从正态分布 H1：总体为非正态分布 α=0.05 计算表7.5各栏。 表7.5　W法正态性检验计算表

秩号	传导速度（m/sec）
i (1)	Xi (2)	Xa-i+1 (3)	Xa-i+1-Xi (4)=(3)-(2)	ain (5)	ain(Xa-i+1-Xi) (6)=(5)(4)
1	40.7	56.7	16.0	0.4734	7.5744
2	40.9	56.0	15.1	0.3211	4.8486
3	46.0	55.0	9.0	0.2565	2.3085
4	47.6	54.9	7.3	0.2085	1.5221
5	47.7	53.5	5.8	0.1686	0.9779
6	48.3	52.9	4.6	0.1334	0.6136
7	49.1	51.8	2.7	0.1013	0.2735
8	50.0	50.9	0.9	0.0711	0.0640
9	50.1	50.9	0.8	0.0422	0.0338
10	50.2	50.8	0.6	0.0140	0.0084
18.2240∑ain(Xa-i+1-Xi)

∑Xi=1004　　∑Xi2=50756.16　　∑(X-x)2=355.36 代入式（7.8） W=（18.2240）2/355.36=0.9347 查附表6，n=20，α=0.05，W（20，0.05）=0.905 W>W（20，0.05）　P>0.1，在α=0.05水准上接受H0，该资料服从正态分布。 2．动差法　又称矩法。既能用于小样本资料，亦可用于大样本资料的正态性检验。本法运用数学上三级动差和四组动差分别组成偏度系数与峰度系数，然后检验资料中否服从正态分布。当频数分布为正态时，偏度系数与峰度系数分别等于0，但从正态分布总体中抽出的随机样本，由于存在抽样误差，其样本偏度系数g1与样本峰度系数g2不一定为0，为此，需检验g1、g2与0的相差是否有显著性。其检验假设为①偏度系数等于O，即频数分布对称；②峰度系数等于0，即为正态峰。 偏度系数g1、峰度系数g2的公式见式（7.9）与（7.11）。当用频数表资料计算时可用式（7.10）与式（7.12），式中n为例数，f为频数。 yixuetongjixue121.jpg yixuetongjixue122.jpg（7.10） yixuetongjixue123.jpg（7.11） yixuetongjixue124.jpg（7.12） g1、g2的抽样误差分别为Sg1与Sg2，见式（7.13）与式（7.14） yixuetongjixue125.jpg(7.13) yixuetongjixue126.jpg(7.14) 假设检验用u检验，其公式为 u1=g1/Sg1　　　　　　　　(7.15) u2=g2/Sg2　　　　　　　　(7.16) u的显著性界限为 ∣u∣<1.96P>0.05在α=0.05的水准上接受H0。 1.96≤∣u∣<2.580.05≥P>0.01在α=0.05的水准上拒绝H0。 ∣u∣≥2.58P≤0.01在α=0.01的水准上拒绝H0。 例7.9　用动差法检验例7.8的资料是否服从正态分布。 1．H0：频数分布对称，H1：频数分布不对称。 2．H0：频数分布为正态峰，H1：频数分布不是正态峰。 α=0.05 ∑（X-x ）2=355.36，∑（X-x ）3=-1032.45 ∑（X-x ）4=20150.4316　n=20 yixuetongjixue127.jpg yixuetongjixue128.jpg u2=0.6221/0.9924=0.627　P>0.20 在α=0.05的水准上接受H0，频数分布对称（P>0.05），并为正态峰（P>0.20）。因此可认为该资料服从正态分布。

方差齐性检验的方法是以两方差中较大的方差为分子，较小的方差为分母求一比值（称为F值），然后将求得的F值与临界值比较，看相差是否显着，现举一例说明。
例7.10　某单位测定了蓄电池厂工人32号，得尿氨基乙酰丙酸（mg/l）的平均含量为7.06，方差为42.3072，又测定了化工厂工人6名，得平均含量为3.48，方差为0.9047，试比较两方差的相差是否有显着意义？
检验假设H0：σ12=σ22，H1：σ12≠σ22α=0.05
定方差较大的一组为第1组，较小者为第2组，求出F值，公式为
F=S12/S22,S1>S2　　　（公式7.17）
本例F=42.3072/0.9047=46.76
现将F值与附表7中的F.05（ν1,ν2）比较。该表上端数值是较大均方（即方差）的自由度，用v1表示，左侧的数值是较小均方的自由度，用ν2表示。本例ν1=n1-1=32-1=31(表内ν1纵行没有31，可查邻近的数值30)，ν2=n2-1=6-1=5,查得F.05（30,5）=6.23,本例F=46.76>F.05(30,5),P<0.05,故在α=0.05水准处拒绝H0，接受H1。两方差的差别显著。

1．用某药治疗10名高血压病人，对每一病人治疗前、后的舒张压（mmHg）进行了测量，结果如下，问该药有无降压作用？ 10名高血压病人治疗前后的舒张压（mmHg）

病例编号	1	2	3	4	5	6	7	8	8	10
治疗前	117	127	141	107	110	114	115	138	127	122
治疗后	123	108	120	107	100	98	102	152	104	107

2．某医院病理科研究人体两肾的重量，下面是20例男性尸解时左、右两肾的称重记录，问左、右两肾重量有无显著差别？

左肾(克)	170	155	140	115	235	125	130	145	105	145	155	110	140
	145	120	130	105	95	100	105
右肾(克)	150	145	105	100	222	115	120	105	125	135	150	125	150
	140	90	120	100	100	90	125

3．设有13例健康人，11例克山病人的血磷测定值（mg%）如下表所示，问克山病人的血磷是否高于健康者？

健康者	1.67	1.98	1.98	2.33	2.34	2.50	3.60	3.73	4.14	4.17	4.57	4.82	5.78
患 者	2.60	3.24	3.73	3.73	4.32	4.73	5.18	5.58	5.78	6.40	6.53

4．某生化实验室测定了几组人的血清甘油三酯含量（mg%）见下表，试分别比较工人与干部，男与女的该项血酯水平。 正常成人按不同职业、性别分类的血清甘油三酯含量

	人　数	平均数	标准差
工　人	112	106.49	29.09
干　部	106	95.93	26.63
男	116	103.91	27.96
女	102	97.93	28.71

5 .肺结核及结核性胸膜炎各5例的血沉（一小时）值如下表，问两者的差别显著否？

肺　结　核	12	20	30	8	15
结核性胸膜炎	80	50	30	30	70

（请注意，两组病人的个体差异差别大否即方差齐否？试用一般的t检验与将各原始数据化成常用对数（定值部可取三位小数）后作t检验。将结果比较一下，是否一致？此资料应采取哪一种方法处理为妥？ 6．经大量调查认为，正常人末梢血中性粒细胞碱性磷酸酶活性阳性率平均为41%，某人报告，观察42例健康人的阳性率为54.8%，问这一结果是否较通常的高？ 7．某人用灭虫宁治疗蛔虫症126例，完全净除率为15.87%（20例），治疗钩虫症225例，完全净除率19.56%（44例），问两者效果有差别否？ 8．试分别检验第3题健康人与克山病人的血磷值是否服从正态分布。