第八章 直线相关与回归

相关分析是用相关系数（r）来表示两个变量间相互的直线关系，并判断其密切程度的统计方法。相关系数r没有单位。在-1～+1范围内变动，其绝对值愈接近1，两个变量间的直线相关愈密切，愈接近0，相关愈不密切。相关系数若为正，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；若为负，表示一变量增加、另一变量减少，即方向相反，但它不能表达直线以外（如各种曲线）的关系。
为判断两事物数量间有无相关，可先将两组变量中一对对数值在普通方格纸上作散点图，如图9.1～9.8所示。图中点子的分布可出现以下几种情况：
正相关——见图9.1，各点分布呈椭圆形，Y随X的增加而增加，X亦随Y的增加而增加，此时1>r>0。椭圆范围内各点的排列愈接近其长轴，相关愈密切，当所有点子都在长轴上时，r=1（见图9.2），称为完全正相关。
负相关——见图9.3，各点分布亦呈椭圆形，Y随X的增加而减少，X也随Y的增加而减少，此时0>r>-1。各点排列愈接近其长轴，相关愈密切，当所有点子都在长轴上时，r=1（见图9.4），称为完全负相关。
在生物现象中，完全正相关或完全负相关甚为少见。
无相关——见图9.5、图9.6和图9.7，X不论增加或减少，Y的大小不受其影响；反之亦然。此时r=0。另外，须注意有时虽然各点密集于一条直线，但该直线与X轴或Y轴平行，即X与Y的消长互不影响，这种情况仍为无相关。
非线性相关——见图9.8，图中各点的排列不呈直线趋势，却呈某种曲线形状，此时r≈0，类似这种情况称为非线性相关。
yixuetongjixue155.jpg不同相关系数的散点示意图
图9.1—9.8　不同相关系数的散点示意图

（一）相关系数计算法 计算相关系数的基本公式为： yixuetongjixue156.jpg计算相关系数的基本公式（9.1） 式（9.1）中r为相关系数，∑（X-X）2为X的离均差平方和，∑（Y-Y）2为Y的离均差平方和，∑（X-X）（Y-Y）为X与Y的离均差乘积之和，简称离均差积之和，此值可正可负。以此式为基础计算相关系数的方法称积差法，在实际应用时式（9.1）中各离均差平方和（简称差方和）与积之和可化为 yixuetongjixue157.jpg （9.2） 现举例说明计算相关系数的一般步骤： 例9.1　测定15名健康成人血液的一般凝血酶浓度（单位/毫升）及血液的凝固时间（秒），测定结果记录于表9.1第（2）、（3）栏，问血凝时间与凝血酶浓度间有无相关？ 1．绘图，将表9.1第（2）、（3）栏各对数据绘成散点图，见图9.9。 2．求出∑X、∑Y、∑X2、∑Y2、∑XY，见表9.1下方。 3，代入公式，求出r值。 yixuetongjixue158.jpg凝血时间与凝血酶浓度散点图及回归直线 图9.9　凝血时间与凝血酶浓度散点图及回归直线 表9.1　相关系数计算表

受试者号 （1）	凝血酶浓度(单位/毫升) X （2）	凝血时间(秒) Y （3）
1	1.1	14
2	1.2	13
3	1.0	15
4	0.9	15
5	1.2	13
6	1.1	14
7	0.9	16
8	0.9	15
9	1.0	14
10	0.9	16
11	1.1	15
12	0.9	16
13	1.1	14
14	1.0	15
15	0.8	17
合计	15.1	222

∑X=15.1　∑Y=222 　　　　　　∑XY=221.7　 ∑X2=15.41∑Y2=3304　　　 本例的相关系数r=-0.9070，负值表示血凝时间随凝血酶浓度的增高而缩短；绝对值∣-0.9070∣表示这一关系的密切程度。至于此相关系数是否显著，则要经过下面的分析。 （二）相关系数的假设检验 虽然样本相关系数r可作为总体相关系数ρ的估计值，但从相关系数ρ=0的总体中抽出的样本，计算其相关系数r，因为有抽样误差，故不一定是0，要判断不等于0的r值是来自ρ=0的总体还是来自ρ≠0的总体，必须进行显著性检验。检验假设是ρ=0，r与0的差别是否显著要按该样本来自ρ=0的总体概率而定。如果从相关系数ρ=0的总体中取得某r值的概率P>0.05，我们就接受假设，认为此r值的很可能是从此总体中取得的。因此判断两变量间无显著关系；如果取得r值的概率P≤0.05或P≤0.01，我们就在α=0.05或α=0.01水准上拒绝检验假设，认为该r值不是来自ρ=0的总体，而是来自ρ≠0的另一个总体，因此就判断两变量间有显著关系。 由于来自ρ-0的总体的所有样本相关系数呈对称分布，故r的显著性可用t检验来进行。本例r=-0.9070，进行t检验的步骤为： 1．建立检验假设，H0：ρ=0，H1：ρ≠0，α=0.01 2．计算相关系数的r的t值： yixuetongjixue160.jpg（9.3） 3．查t值表作结论 ν=n-2=15-2=13 根据专业知识知道凝血酶浓度与凝血时间之间不会呈正相关，故宜用单侧界限，查t值表得 t0.01,13=2.650 今∣tr∣>t0.01,13，P<0.01，在α=0.01水准上拒绝H0，接受H1，故可认为凝血时间的长短与血液中酶浓度有负相关。 为简化tr检验的计算过程，数理统计工作者根据t分配表，已把不同自由度时r的临界值求出，并列成相关系数界值表（见附表11）。故求相关系数后，只需查表就可知道该r值是否显著，而不必再计算tr值。 r的显著性界限为 |r|0.05　相关不显著 r0.05,,≤|r|0.01 在α=0.05水准上相关显著 |r|≥r0.01,,　P≤0.01　在α=0.01水准上相关显著 例9.1的ν =15-2=13，查附表11中P（1）的界值，得： r0.05,13=0.441r0.01,13=0.592 现r=-0.9070,∣r∣>r0.01,13,P<0.01,按α=0.01水准，拒绝HO,接受H1。认为ρ≠0，说明凝血时间的长短与血液中凝血酶浓度有负相关。结论与计算所得一致。 相关系数的显著性与自由度的大小有关，如n=3,ν=1时，虽r=-0.9070，却为不显著；若ν=400时，即使r=0.1000，亦为显著。因此不能只看r的值，不考虑ν就下结论。

计算出相关系数后，如果r显着，且又需要进一步了解两变量中一个变量依另一个变量而变动的规律时，则可进行回归分析。
“回归”是个借用已久因而相沿成习的名称。若某一变量（Y）随另一变量（X）的变动而变动，则称X为自变量，Y为应变量。这种关系在数学上被称为Y是X的函数，但在医学领域里，自变量与应变量的关系和数学上的函数关系有所不同。例如成年人年龄和血压的关系，通过大量调查，看出平均收缩压随年龄的增长而增高，并且呈直线趋，但各点并非恰好都在直线上。为强调这一区别，统计上称这是血压在年龄上的回归。
直线回归分析的任务就是建立一个描述应变量依自变量而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。按这个要求计算回归方程的方法称为最小平方法或最小二乘法。所建立的方程是一个二元一次方程式，其标准形式是：
=a+bX(9.5)
式（9.4）为由X推算得来的Y值，即Y的估计值：a称为截距，它是当X=0时的值，即回归直线与纵轴的交点：b称为回归系数，它是回归直线的斜率，其含意是当X每增加一个单位时，相应增（或减）b个单位。当a与b求得后，直线回归方程就确定了。

仍以表9.1资料为例，根据前面的相关分析以及医学上有关凝血的机理，可知凝血时间依凝血酶浓度而异，且有密切的关系。因此可进一步作由凝血酶浓度（X）推算凝血时间（Y）的回归方程。求直线回归方程的步骤如下：
1．列回归计算表（见表9.1），计算∑X、∑Y、∑X2、∑Y2、∑XY。
2．计算X、Y、∑(X-X)2、∑(X－X)(Y-Y)
X=∑X/n=15.1/15=1.01
Y=∑Y/n=222/15=14.80
∑(X-X)2=∑X2-(∑X)2/n=0.2093
∑(X-X)(Y-Y)=∑XY-∑X·∑Y/n=-1.7800
3．计算回归系数b和截距a。b和a两值计算公式均是根据最小二乘法的原理推算出来的，其公式如下：
（9.5）
a=Y-bX　　　　　　　　（9.6）
本例b=-1.7800/0.2093=-8.5045
a=14.80-(-8.5045)(1.01)=23.3895
4．列出回归方程，绘制回归直线，将求得的b和a的值代入到式（9.4），即得所求的回归方程：
=23.3895-8.504X
在凝血酶浓度的实测范围内，即X=0.8到X=1.2之间，任选两个X值（一般选相距较远且直角坐标系上容易读出者），代入此回归方程，即得相应的两个值。例如：
取　X1=0.8，则1=23.3895-8.5045×0.8=16.59,
X2=1.2　则2=23.3895-8.5045×1.2=13.18。
连接（0.8、16.59）和（1.2、13.18）两点所得直线，即为由凝血酶浓度推算凝血时间的回归直线（见图9.9）。须注意回归直线必通过（χ，y ）点，并穿过观察点群，直线上下各有一些点散布着，否则计算有误。

（一）样本回归系数的假设检验 根据例9.1资料求得的是样本回归系数b，有抽样误差的，需作假设检验，检验其是否是从回归系数为0的假设总体（即β=0）中随机抽得的，也就是检验b与0的差别有无显着性。如果差别有显着性，可认为X与Y间有直线回归存在。 样本回归系数的假设检验亦用t检验。 H0：β=0即Y的变化与X无关； H1：β≠0。 计算公式为： yixuetongjixue163.jpg　（9.7） 分母Sb是样本回归系数b的标准误，计算公式为： yixuetongjixue164.jpg　（9.8） 分子Sy.x为各观察值Y距回归线的标准差，即当X的影响被扣去以后Y方面的变异，可按下式计算： yixuetongjixue165.jpg　（9.9） 式中∑（Y- yixuetongjixue161.jpg）2为估计误差平方和，常用下式计算： yixuetongjixue166.jpg（9.10） 根据数理统计的理论，同一批资料计算所得tr与tb是相同的，即tr=tb。处理资料时可检验相关显著性代替其回归显著性。 由于例9.1资料的r在α=0.01水准上显著，故可判断样本回归系数-8.5045与0的相差有显著性，说明存在凝血时间随凝血酶浓度变化而变化的回归关系。 （二）两样本回归系数相差的假设检验 若有两个可以比较的样本，它们的回归系数分别为b1与b2，经检验都为显著，回归系数的标准误分别为Sb1和Sb2。b1与b2相差的显著性也可用t检验法检验，其计算公式为： yixuetongjixue167.jpg（9.11） ν=n1+n2-4 式（9.11）中Sb1-b2为两样本回归系数之差的标准误，其计算公式为： yixuetongjixue168.jpg(9.12) 式（9.12）中S2C为两样本回归系数的合并方差，其计算公式为： yixuetongjixue169.jpg(9.13) 式（9.13）中∑（Y- yixuetongjixue161.jpg）2为估计误差平方和，即观察值Y与估计值 yixuetongjixue161.jpg的差数（Y- yixuetongjixue161.jpg）的平方之和。其计算公式见公式（9.10）， 现以实例说明两样本回归系数t检验的步骤。 例9.2　表9.2资料为同一批白蛋白于38℃与25℃条件下，不同时间（分）的凝固百分比，问由此而得的两样本回归系数相差是否显著？ 表9.2　白蛋白在两种温度下各不同时间的凝固百分比

时间（分）	凝固百分比（%）
X	25℃ Y1	38℃ Y2
3	7.2	12.0
6	18.4	30.0
9	30.0	44.0
12	40.0	53.0
15	49.0	66.0
18	58.0	81.5
合计　63	202.6	286.5

本例图示见图9.10，本例计算见图下： yixuetongjixue170.jpg 图9.10　白蛋白在两种温度下各不相同时间的凝固百分比 r1=0.998(P<0.01) b1=3.389∑(Y1-1)2=5.7927n1=6 r2=0.996(P<0.01) b2=4.424∑(Y2-2)2=24.5857n2=6 ∑(X1-X1)2=∑(X２-X２)2=157.5000 1．H0：β1-β2=0 H1：β1-β2≠0 α=0.01 2．计算t值： yixuetongjixue170.jpg 3．查t值表作结论：以ν=6+6-4=8查t值表，得 t0.01,8=2.355,今∣t∣>t0.01,8,故P<0.01。 4．判断结果：按α=0.01水准，拒绝H0，接受H1，故两个回归系数差别显著。说明两条回归直线的斜率不同，两条回归直线中X对Y的影响规律不一致。现b2>b1，说明随着时间的增加，蛋白质在38℃时凝固百分比的增加量比在25℃时高。

1．作相关与回归分析要有实际意义。不要把毫无关联的两个事物或现象用来作相关或回归分析。如儿童身高的增长与小树的增长，作相关分析是没有实际意义的，如果计算由儿童身高推算小树高的回归方程则更无实际意义。也许算得的r、b是显着的，也是没有意义的。
2．对相关分析的作用要正确理解。相关分析只是以相关系数来描述两个变量间相互关系的密切程度和方向，并不能阐明两事物或现象间存在联系的本质。而且相关并不一定就是因果关系，切不可单纯依靠相关系数或回归系数的显着性“证明”因果关系之存在。要证明两事物间的因果关系，必须凭籍专业知识从理论上加以阐明。但是，当事物间的因果关系未被认识前，相关分析可为理论研究提供线索。
3．相关与回归的区别和联系：相关表示两变量间的相互关系，是双方向的。而回归则表示Y随X而变化，这种关系是单方向的。医学资料中的有些资料用相关表示较适宜，比如兄弟与姐妹间的身长关系、人的身长与前臂长之间的关系等资料。另有些资料用相关和回归都适宜，此时须视研究需要而定。就一般计算程序来说，是先求出相关系数r并对其进行假设检验，如果r显著并有进行回归分析之必要，再建立回归方程。
回归系数与相关系数的正负号都有两变量离均差积之和的符号业决定，所以同一资料的b与其r的符号相同。回归系数有单位，形式为（应变量单位/自变量单位）相关系数没有单位。相关系数的范围在-1～+1之间，而回归系数没有这种限制。
4．适合作相关和回归分析的资料通常有两种资料：（1）一个变量X是选定的，另一个变Y是从正态分布的总体中随机抽取的，宜作回归分析。（2）两变量X、Y（或X1、X2）都是从正态分布的总体中随机抽取的，即是正态双变量中的随机样本。这时，若需要由一个变量推算另一个变量可作回归分析；若只需说明两变量间的相互关系可作相关分析。如果变量（一个或两个）呈明显偏态时，须经过适当的变量代换（如对数代换等），使资料接受正态分布后再做相关与回归分析；或者采用秩相关法（见第十章第四节）。
5．在回归分析中，由X推算Y与由Y推算X的回归方程是不同的，不可混淆。
yixuetongjixue171.jpg
但我们必须正确选定自变量与应变量，一般说，事物的原因作自变量X，当事物的因果关系不很明确时，选误差较小的即个体变异小的变量作自变量X，以推算应变量Y。
6．回归方程的适用范围有其限度，一般仅适用于自变量X的原数据范围内，而不能任意外推。因为我们并不知道在这些观察值的范围之外，两变量间是否也呈同样的直线关系。

1．测量了10个家庭中兄弟和姐妹的平均身长，试根据本资料的数据对兄弟与姐妹间身长进行相关分析。

家庭编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	合计
兄弟(厘米)X1	65	66	66	67	68	70	70	71	71	72	686
姐妹(厘米)X2	59	62	65	63	64	65	65	62	69	66	640

2．某研究组测定羊抗人血清IgG含量与沉淀圈直径，其测定结果如下。试据本资料的对数值作相关与回归分析。问能否用沉淀圈直径推算IgG含量？ 羊抗人血清IgG含量（μg/μl）与沉淀圈直径(mm)

编号	真数		对数
羊抗人血清IgG X	沉淀圈直径 Y	羊抗人血清IgG X=1gX	沉淀圈直径 Y=1gY
1	4.50	1.56	0.6532	0.1931
2	5.50	3.12	0.7404	0.4942
3	6.50	6.25	0.8129	0.7959
4	8.50	12.50	0.9294	1.0969
5	11.50	25.00	1.0607	1.3979
6	13.50	50.00	1.1303	1.6990
合计	-	-	5.3269	5.6770

3．有人测定了大白鼠正常肝与肝肿瘤中蛋白质的含量与逆甲氨酶的活度，得结果如下。试检验两样本回归系数b1与b2间有无显著相差。 两组肝中蛋白质含量与递甲氨酶活度

正常肝	肝肿瘤
蛋白质含量(mg) X1	酶活度(CPM) Y1	蛋白质含量(mg) X2	酶活度(CPM) Y2
0.39	16	0.94	198
0.69	27	1.00	310
0.90	40	0.50	101
1.20	67	1.70	563
1.35	61	0.80	376
1.60	88	0.33	75
6.13	299	5.27	1623
n1=6	n2=6
b1=59.07	b2=353.02
Sb1=6.2664	Sb2=78.1412
∑(X1- X1)2=0.9979	∑(X2-X2)2=1.1437
∑(Y1-　　 1)2=157.4023	∑(Y2-　　 2)2=27931.9032

4．思考题 （1）要分析吸烟与否和肺癌发病率的关系应收集什么资料，用什么统计方法分析？ （2）若r>r0.05可否得出tb>t0.05的结论？ （3）若样本回归系数b<0，可否认为两变量呈负相关？ （4）回归系数愈大，两变量关系是不是愈密切？ （5）∑(Y-)2说明什么问题？