章节内容
9-1
第一节 方差分析的意义
在第七章我们已介绍了两个样本均数相比较的显着性检验方法。如果相互比较的组超过两个，为同时解决几个均数的比较问题，通常使用方差分析法。
方差即标准差σ或S的平方，又称均方，它由离均差平方和被自由度相除而得。方差分析时我们将总离均差平方和即总变异分析为几个组成部分，其自由度也分解为相应的几部分，故方差分析又称变异数分析。它是处理实验研究资料时重要的分析方法之一，内容很多，本章仅介绍两个以上样本均数差别的显着性检验。
检验前对资料应有如下要求：被比较的各组应分别随机来自各自的正态总体，各总体相互独立并具有相同的方差即σ12=σ22=σ32……σk2。检验假设为，H0：μ1=μ2=μ3……=μk，H1：各总体均数不全相等。下面通过实例先介绍完全随机设计资料的方差分析。
9-2
第二节 安全随机设计资料的方差分析
9-2-1
一、检验的一般步骤
1．资料 这里所要的是类似第七章第一节三、中所述的成组资料，不过现在不是两组而是多组，如下例。
例8.1 分泌型免疫球蛋白A（SIgA）是胃肠道分泌液、泪液等外分泌液中的主要免疫球蛋白类，某院研制了“125I－SIgA放射免疫测定药盒”，为人体SIgA的检验提供了一种简便方法。为比较不同批号药盒检验结果是否一致，该院曾将三批号各四个药盒一一测定了某一标本得结果如下，试作方差分析。
表8.1 三个批号药盒的SIgA放射免疫测定值
2. 分析 从表8.1的测定结果可以看出这里有三种变异：
（1）从同一批号药盒的四次测定结果看，不尽相同，这是组内变异。显然它不是由于批号不同的影响，而只是由于误差（如批内各药盒的差异性和测量误差等）造成的。
（2）从各批测定值的均数来看，是不相同的，这是组间变异，表明各批药盒性能质量也许对测得的结果有一定影响，也包括误差的作用。
（3）12次测定的SIgA含量都不尽相同，有高有低，它们既可能受药盒来自不同批号的影响，也包括组内变异，因此称为总变异。
那么这里各批药盒测SIgA均值间的差别，只不过是抽样误差的反映呢？还是药盒制作质量不稳定，批间存在显著差别？为了得出正确的结论，可进行方差分析。方差分析的基本甲思想是：①从总变异中分出组间变异和组内变异，并用数量表示变异的程度；②将组间变异和组内变异进行比较，如两者相差不大，说明受批号不同的影响不大；如果两者相差较大，组间变异比组内变异大得多，说明批号不同的影响不容忽视。下面我们根据表8.1资料来计算这三种变异。
（1）总离均差平方和：即12个观察值各与总均数相差的平方之和，公式为
yixuetongjixue129.jpg(8.1)
式中SS总即总离均差平方和，Xij表示第i组的第j个观察值，X为全部观察值的平均数，k是组数。
本例SS总=72.5741-28.972/12=2.6357
（2）组间离均差平方和：即取各组均数代替该组各观察值后，它们分别与总均数相差的平方之和，公式为
yixuetongjixue130.jpg(8.2)
（3）组内离均差平方和：只要加总各组本身的离均差平方和即得，公式为
yixuetongjixue131.jpg(8.3)
由本例计算结果可以看出，SS组间+SS组内=SS总，如2.3223+0.3134=2.6357。因此，算出SS总以后再计算SS组间、SS组内两者中之一个，其余一个便可通过减法求得。
将以上求得的几种变异各除以自由度后得均方。自由度的计算公式分别为
总变异 N-1 （N为各组例数之和）（ 8.4）
组间变异 K-1 （8.5）
组内变异 N-K （8.6）
组间均方与组内均方之比为F值，
F＝组间均方/组内均方 （8.7）
本例
yixuetongjixue132.jpg
将以上数据列入下面的方差分析表可使人一目了然。
表8.2 方差分析表
如果求得的F值小于1或略大于1，也即组间变异与组内变异差不多，则关于不同批药盒所致影响就不值得注意，反之，若各批均数间差别甚大，组间变异比组内变异大得多，说明不能只把它看成为误差的表面，很可能不同批药盒的测定值具有差别。现F值远大于1，若等于或大于某α水准下的临界F值，便将拒绝检验假设H0而接受备择假设H1。
本例定α=0.05,查附表8F值表，F0.05(2,9)=4.26。括弧内2为求F值时分子（也即较大均方）的自由度，9为分母的自由度，今F=33.368，远大于此临界值4.26,故P<0.05，说明不同批药盒的影响不容忽视，各批药盒测定的SIgA值相差显著。
| 批号 | SIgA含量（μg/ml）, X | ∑X | n | X | ∑X2 | ∑X2-(∑X)2/n | |||
| 1 | 1.92 | 1.80 | 2.08 | 2.00 | 7.80 | 4 | 1.95 | 15.2528 | 0.0428 |
| 2 | 2.21 | 2.25 | 2.12 | 2.57 | 9.15 | 4 | 2.29 | 21.0459 | 0.1153 |
| 3 | 3.27 | 2.75 | 2.90 | 3.10 | 12.02 | 4 | 3.01 | 36.2754 | 0.1553 |
| 合计 | 28.97 | 12 | 2.414 | 72.5741 | 0.3134 | ||||
| 变异来源 | 离均差平方和 | 自由度 | 均 方 | F |
| 总 变 异 | 2.6357 | 11 | ||
| 组间变异 | 2.3223 | 2 | 1.1612 | 33.368 |
| 组内变异 | 0.3134 | 9 | 0.0348 |
9-2-2
二、多个均数间的两两比较
经方差分析（即F检验），若各组均数之间差别不显着，则到此为止，不必作进一步统计学处理了。当F检验结果为相差显着时，这只是对各组均数的整体而言，至于哪些均数间的差别显着，哪些不显着，还要作如下进一步分析。
本例检验结果为相差显着，这里我们先用较为简单而实用的最小显着差数法来比较三组中每两组均数间的差别是否显着，然后介绍q值法。
1．最小显着差数法
（1）计算最小显着性差数Dα，ν
Dα，ν＝t， (8.8)
式中t，由附表3查得，查时自由度ν用方差分析表中组内变异的自由度，本例为9；α即显著性水准，常用0.05或0.01，本例查得两个临界t值即t0.05,9=2.262，t0.01,9=3.250。标准误 的计算公式是
yixuetongjixue134.jpg (8.9)
S2组内也即表8.2中的组内均方（也可叫误差均方）0.0348。nA、nB为所比较的两组的例数，本例各组例数都为4。现将数据代入式（8.9）、（8.8）求得
yixuetongjixue135.jpg
（2）用上述的最小显著性差数与每两组均数的相差数比，若后者大于前者（临界值），便相差显著，若小于前者，为相差不显著。现将两均数间的比较结果列于下表。
表8.3 均数间两两比较
注：表中XA-XB两侧的直杠是绝对值符号。
3．统计结论：各批间均在α=0.05水准处相差显著，又第3批与第1、2两批比，P<0.01，说明各批药盒对SIgA的检测效果不一致，批号3远高于批号2与1。
上面介绍的多个均数间两两比较的方法虽较简便，精确性有时不足，尤其当比较的均数不是在三个而是更多，或各样本含量不相等时应用也较麻烦。下面介绍查临界q值而不查t值的另一比较方法。
2．q值法
（1）将表8.1中三个均数自大至小排列得：
（2）用组内均方与平均每组例数n0求出标准误，然后与由附表9中查到的临界q值相乘，即可列出比较表加以比较。下面是求平均例数的公式。
yixuetongjixue136.jpg（i=1,2,…,k) (8.10)
此例 yixuetongjixue137.jpg
本例各组样本大小相等，均为4，本无须用上式计算，但若各组大小不等时就得用上式求平均例数。
标准误公式为
yixuetongjixue138.jpg(8.11)
此例 yixuetongjixue139.jpg
表8.4 均数间两两比较
现将上表栏目自左至右一一说明如下：
表内左侧，均数大小秩次3与2比，即相邻两组相比，故组数a等于2。同样，第三行的2与1比，因2与1相邻，a也是2，3与1比则由3到1组数有3，a等于3。关于查附表9中的q值，一方面根据该表上端横行a的数字，另方面根据表左侧直行的ν，也即方差分析表中组内（或误差）项的自由度（本例为9）来查。表内q值有上、下两行数，若定α为0.05，查上行，α为0.01则查下行。
就本例言，用两种方法作均数间两两比较，其结论完全一致。
例8.2 下表为用动物研究白血病时测得的鼠脾DNA（脱氧核糖核酸）含量，现作方差分析，比较四个不同病情组的均数相差是否显著。
表8.5 鼠脾DNA含量测定值（mg）
1．作检验假设H0：μ1=μ2=μ3=μ4，H1：各总体均数不都相等。α=0.01。
2．用表8.5下部数字计算离均差平方和：简法是先求校正数C=(∑X)2/N=398.12/32，再求
SS总：5086.01-(398.1)2/32=133.40
SS组间：(119.8)2/8+(89.2)2/7+(104.4)2/9+(84.7)2/8-(398.1)2/32=85.85
SS组内：133.40-85.85=47.55
3．列出方差分析表
表8.6 方差分析表
4．查F值表，下结论。看附表8（3），根据求F值时组间均方较大，于是用其自由度3及组内均方的自由度28查得F0.01(3,28)=4.57，今F=16.84>F0.01(3,28)=4.57，故在α=0.01水准处相差显著，P<0.01。四组鼠脾的DNA含量不等。（注：F小于1时无须查表）。
5．为详细分析每两组间的相差情况，作两两比较如下。（因各组例数不等又组数较多，故用Q值法比较）。
（1）将四组均数按大小排列：
(2)求平均例数与标准误：由式（8.10）与式（8.11）计算得
yixuetongjixue140.jpg
（3）列表比较：
表8.7 均数间两两比较
注：本例组内均方的自由度为28但q值表中左侧无28，故用邻近的较小自由度20，此外也可用内插法求出γ为28的q值。
比较结果，除患移植性白血病甲、乙组间；甲组与自发性白血病组间（即按均数大小秩次3与4、3与2间）相差不显著外，余均在α=0.01水准处相差显著，说明正常鼠脾DNA含量最高，患移植白血病乙组的最低。
| A与B（批号） | ∣XA-XB∣ | 界 值 | P值 | |
| D0.05 | D0.01 | |||
| 1与2 | 0.34 | 0.298 | 0.429 | <0.05 |
| 1与3 | 1.06 | 0.298 | 0.429 | <0.01 |
| 2与3 | 0.72 | 0.298 | 0.429 | <0.01 |
| 第3批 | 第2批 | 第1批 | |
| SIgA平均值，X（μg/ml） | 3.01 | 2.29 | 1.95 |
| 秩次 | 1 | 2 | 3 |
| 样本含量，n | 4 | 4 | 4 |
| A与B （秩次） | 组数α | ∣XA-XB∣ | Q0.05(a,ν)Sχ | ν见组内变异一行 P值 |
| 3与2 | 2 | 0.34 | 0.299 | <0.05 |
| 3与1 | 3 | 1.06 | 0.369 | <0.05 |
| 2与1 | 2 | 0.72 | 0.299 | <0.05 |
| 正常组 | 患自发性 白血病组 | 患移植白血病 | 总 计 | ||
| 甲组 | 乙组 | ||||
| 12.3 | 10.8 | 9.3 | 9.5 | ||
| 13.2 | 11.6 | 10.3 | 10.3 | ||
| 13.7 | 12.3 | 11.1 | 10.5 | ||
| 15.2 | 12.7 | 11.7 | 10.5 | ||
| 15.4 | 13.5 | 11.7 | 10.5 | ||
| 15.8 | 13.5 | 12.0 | 10.9 | ||
| 16.9 | 14.8 | 12.3 | 11.0 | ||
| 17.3 | 12.4 | 11.5 | |||
| 13.6 | |||||
| ∑Xij j | 119.8 | 89.2 | 104.4 | 84.7 | 398．1 |
| ni | 8 | 7 | 9 | 8 | 32 |
| Xi | 14.98 | 12.74 | 11.60 | 10.59 | 12．44 |
| ∑X2ij j | 1815.96 | 1147.32 | 1223.58 | 899.15 | 5086．01 |
| SSi | 21.96 | 10.66 | 12.54 | 2.39 | 47．55 |
| 变异来源 | 自由度 | 离均差平方和 | 均方 | F |
| 总 计 | 31 | 133.40 | ||
| 组 间 | 3 | 85.85 | 28.62 | 16.48 |
| 组 内 | 28 | 47.55 | 1.70 |
| 正常组 | 患白发性 白血病组 | 患移植白血病 | ||
| 甲组 | 乙组 | |||
| DNA平均含量(mg) | 14.98 | 12.74 | 11.60 | 10.59 |
| 秩次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 样本含量，n | 8 | 7 | 9 | 8 |
| A与b （秩次） | 组数a | ∣XA-XB∣ | 界 值 | P值 | |
| q0.05Sχ | q0.01Sχ | ||||
| 4与3 | 2 | 1.01 | 1.36 | 1.86 | >0.05 |
| 4与2 | 3 | 2.15 | 1.65 | 2.14 | <0.01 |
| 4与1 | 4 | 4.39 | 1.83 | 2.32 | <0.01 |
| 3与2 | 2 | 1.14 | 1.36 | 1.86 | >0.05 |
| 3与1 | 3 | 3.38 | 1.65 | 2.14 | <0.01 |
| 2与1 | 2 | 2.24 | 1.36 | 1.86 | <0.01 |
9-3
第三节 随机单位组设计资料的方差分析
随机单位组设计资料和t检验中的成对资料相类似，不同之处是成对资料只二个组，而随机单位组设计有三个或更多的组，因而要比较的均数多于两个，它是比完全随机设计更精细的一种设计方法。这样设计的资料作方差分析的检验效能较高，因为在此种设计的方差分析表中多了一个分析内容──单位组间的变异，致使误差均方有一定程度的缩小。下面用例子说明分析过程。
例8.3 以缺乏核黄素的饲料喂大白鼠，一周后测尿中氨基氮的三天排出量，并与限食量组和不限食量组对比，结果见表8.8，试比较三组均数间有无显着差别。
表8.8 三组白鼠在进食一周后尿中氨基氮的三天排出量（mg）
离均差平方和：
总计：1201.0748-(191.44)2/36×183。0394
饲料组间
yixuetongjixue141.jpg
单位组间
yixuetongjixue142.jpg
误差 183.0394-47.7877-102.9479=32.3038
注：以上分母12与3等为组内动物数。
表8.9 方差分析表
表8.8是按饲料和单位组两个方面分组的资料，设计这种实验时，先将条件基本相同的实验对象组成单位组，然后将一个单位组内的实验对象随机分配到各处理组（饲料组）中去，每组一个。如本例先挑选同窝、同性别、体重基本相等的大白鼠三头，组成一个单位组，共组成12个单位组，然后将每一单位组的三头白鼠随机分配到三个饲料组中去，这样，每个处理组的重复数就是单位组数。表8.8与表8.1资料不同的地方是，表8.1在同一批内的各数值，位置可任意调动，不影响分析的结果，而表8.8内，需移动数据时必须把该横行（第i个单位组）的所有数值同时移动，才使分析结果不受影响。
表8.9中各个离均差平方和的数字来自表8.8下方。如果是完全随机设计资料的方差分析，分析表中并无单位组间这一横行的数字,其自由度与离均差平方和被分别包含在原组内（误差）项中，就本例而言那么组内均方将为（102.9479+32.3038）/(11+22)=4.0985，比现在从分析表中看到的误差均方1.4684要大得多，也即求F值时分母要大得多。分母大，求出的F就小，那么在有的资料里就有可能使求得的F值不显著而改变结论，由此可见把“单位组间”均方从“组内”均方中分离出来的必要性。但假如在按两个标志分组的资料里，“单位组间”无显著相差，那么这部分均方不分离出来而仅有“组内”均方也可，而若没有这一部分，表8.9就会和表8.2的项目一样了。本资料不论“饲料组间”、“单位组间”所求F值均大于F0.01（1,2），故不同饲料组均数间在α=0.01水准处相差显著，各单位组平均数间也在α=0.01水准处相差显著。
由于三个饲料组均数间相差显著，我们用最小显著差数法进一步作了均数间的两两比较，见表8.10，计算最小显著差数时用公式（8.8）、（8.9），得：
yixuetongjixue143.jpg
表8.10 均数间两两比较
秩次见表8.8内X一行括号内数字。
结论为不限食量组氨基氮三天排出量最高，至于核黄素缺乏组与限食量组之间，则尚未看出有显著差别。
再看表8.8右侧12个单位组的均数，经F检验已知相差显著，初步看第10、11号两个单位组的均数（分别为8.807和8.567）比较高，其余的均在3与6之间差别不大。若作两两比较将要比较 次（12中取2的组合数），为免去许多麻烦，先取10号
与11号比，若无显著相差可作为一类，再取11号均数与其最接近的第1号单位组均数相比，若相差显著，11号均数就不必再与相差更大些的其它均数比下去了，现将这三者相比如下。
yixuetongjixue145.jpg
第10与第11号，均数之差为8.807-8.567=0.240，小于2.052,P>0.05
第11号与第1号 均数之差为8.567-5.820=2.747,大于2.052,P<0.05。结果10号与11号单位组均数间无显著相差，而这两组与其余10组均相差显著，因为1号与11号相差2.747已差别显著，其余各组与10、11号差得更多，大概不会相差不显著的。可见，第10、11号两个单位组的动物尿中氨基氮较高。以上分析虽较简略，一般已可说明问题，因本资料的主要分析目的在于饲料组间的比较而并非单位组间。又假如表8.9的方差分析结果，F小于临界值，说明均数间相差不显著，就不必考虑作均数间两两比较。
| 单位组号 | 核黄素缺乏组 | 限食量组 | 不限食量组 | 小计 | x |
| 1 | 5.98 | 3.32 | 8.16 | 17.46 | 5.820 |
| 2 | 3.63 | 3.39 | 5.57 | 12.59 | 4.197 |
| 3 | 2.40 | 2.66 | 5.25 | 10.31 | 3.437 |
| 4 | 4.68 | 3.33 | 7.32 | 15.33 | 5.110 |
| 5 | 3.81 | 2.73 | 6.76 | 13.30 | 4.433 |
| 6 | 7.03 | 5.13 | 5.13 | 17.29 | 5.763 |
| 7 | 4.71 | 3.36 | 5.07 | 13.14 | 4.380 |
| 8 | 4.69 | 4.29 | 4.62 | 13.60 | 4.533 |
| 9 | 3.91 | 3.18 | 9.26 | 16.35 | 5.450 |
| 10 | 6.51 | 8.45 | 11.46 | 26.42 | 8.807 |
| 11 | 8.67 | 7.12 | 9.91 | 25.70 | 8.567 |
| 12 | 3.40 | 2.55 | 4.00 | 9.95 | 3.317 |
| ∑X | 59.42 | 49.51 | 82.51 | 191.44 | - |
| x | 4.952(2) | 4.126(3) | 6.876(3) | 5.318 | -- |
| ∑X2 | 329.1142 | 242.8543 | 629.1065 | 1201.0748 | - |
| 方差来源 | 自由度 | 离均差平方和 | 均 方 | F | F0.01(v1,v2) |
| 总计 | 35 | 183.0394 | |||
| 饲料组间 | 2 | 47.7877 | 23.8939 | 16.27 | 5.72 |
| 单位组间 | 11 | 102.9479 | 9.3589 | 6.37 | 3.18 |
| 误差 | 22 | 32.3038 | 1.4684 |
| A与B （秩次） | ∣XA-XB∣ | 界 值 | P值 | |
| D0.05 | D0.01 | |||
| 3与2 | 0.826 | 1.026 | 1.395 | >0.05 |
| 3与1 | 2.750 | 1.026 | 1.395 | <0.01 |
| 2与1 | 1.924 | 1.026 | 1,395 | <0.01 |
9-4
第四节 拉丁方设计资料的方差分析
表8.11 家兔注射某种药物后不同部位所生疱疹大小（cm2）
例8.4 下面的表8.11是家兔在不同部位注射某种药物后所生疱疹的大小。家兔共有六只，其编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ。注射部位有六处，其代号为A、B、C、D、E、F，其中A、B、C在脊椎附近，D、E、F在两侧，注射次序用1、2、3、4、5、6来表示。该表的读法是，第一次注射时1号兔在部位B处注射，所生疱疹大小为7.5平均厘米；Ⅱ号兔在部位E处注射，所生疱疹大小为8.5平方厘米；余类推。这里我们看到，这个资料是按家兔编号、注射部位、注射次序三个标志来分组的。这种分组与一般的按三个标志的分组（如性别、年龄、病型）又不一样，而是按特殊的实验设计安排的。这种实验设计叫做拉丁方设计。在表8.11里，我们看到三个分组标志各分六组，而且每次注射时（纵行）没有相同的部位，每个动物（横行）也没有重复的部位，所以拉丁方的同一纵行内与同一横行内没有相同的字母，这是拉丁方设计的要求。这种设计既控制了动物的个别差异，也控制了因注射日期（次序）不同而可能产生的差异，因此拉丁方的设计控制得更为严密，常用的拉丁方见附表10。计算离均差平方和：
总计：(7.52+8.52+7.32+………+7.12+7.32)-(265.2)2/36=30.36
先求校正数 C＝(265.2)2/36＝1953.64
动 物 间 yixuetongjixue146.jpg
注射次序间 yixuetongjixue147.jpg
部 位 间 yixuetongjixue148.jpg
误 差 30.36－12.83－0.56－3.83＝13.14
表8.12 家兔疱疹资料的方差分析
分析资料时，先求出各次注射、各家兔、各部位的小计，然后计算校正数及各离均差平方和与相应的自由度，列入方差分析表，以自由度除对应的离均差平方和，得均方。计算F时分母一律用误差项均方。这里注射次序间的均方小于误差均方，就不需要计算F值。查F值表，当ν1=5，ν2=20时，F0.05(5,20)=2.71，部位间的F值小于2.71，因此差别不显著，动物间的F值大于F0.05(5,20)，故各家兔所生疱疹大小的六个平均数在α=0.05的水准处相差显著，下面将六个平均数进一步作两两比较：
从表8.11右侧六个动物的平均值看，Ⅱ号动物平均值为8.62，最高，其次是Ⅵ号动物的7.52，这两个均数比较后决定是否再和别的几个比。仍用最小显著差数法，先求出
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现8.62-7.52=1.10>D0.05,20=0.98，故Ⅱ号与Ⅵ号动物在α=0.05水准处相差显著。Ⅱ号与其它各号动物的差别更大。下面查临界q值，比次大均数与最小均数即Ⅵ号的7.52与Ⅳ号的5.80，相差为1.72，与相应的 比较时，均数的相差数大于临界值，相差显著。其它各号动物均数之间则因差别都很小，可不必比较。总之，六个动物间以Ⅱ号动物的均数最大，Ⅳ号的最小，与其余几个都差别显著，其它两两间无显著相差。
| 动物编号 | 注射次序 | 各动物 小 计 | 各动物 平均数 | ||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||||||
| Ⅰ | B7.5 | C6.7 | A7.9 | D6.1 | F7.3 | E6.9 | 41.4 | 7.07 | |||
| Ⅱ | E8.5 | D8.2 | B8.1 | C9.9 | A8.7 | F8.3 | 51.7 | 8.62 | |||
| Ⅲ | C7.3 | F7.3 | E6.8 | A7.4 | B6.0 | D7.7 | 42.5 | 7.08 | |||
| Ⅳ | A7.4 | E7.7 | C6.4 | F5.8 | D7.1 | B6.4 | 40.8 | 5.80 | |||
| Ⅴ | F6.4 | B6.2 | D8.1 | E8.5 | C6.4 | A7.1 | 42.7 | 7.12 | |||
| Ⅵ | D5.9 | A8.2 | F7.7 | B7.5 | E8.5 | C7.3 | 45.1 | 7.52 | |||
| 各次小计 | 43.0 | 44.3 | 45.0 | 45.2 | 44.0 | 43.7 | 265.2 | ||||
| 部 位 小 计 | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | ||||||
| 46.7 | 41.7 | 44.0 | 43.1 | 46.9 | 42.8 | ||||||
| 方差分析 | 自由度 | 离均差平方和 | 均方 | F |
| 总计 | 35 | 30.36 | ||
| 动物间 | 5 | 12.83 | 2.566 | 3.91* |
| 注射次序间 | 5 | 0.56 | 0.112 | — |
| 部位间 | 5 | 3.83 | 0.766 | 1.17 |
| 误差 | 20 | 13.14 | 0.657 |
9-5
第五节 几个方差的齐性检验
进行上述方差分析时，我们把比较的几个组的资料，看成是从几个相应的总体中随机抽取的独立样本，理论上要求几个总体都呈正态分布，几个总体的方差都是相同的，但总体均数可以不等。因此实际应用时，如果各组资料呈显着偏态，或各组方差相差悬殊，（尤其当各样本的含量甚不相同时）就不能用上述方法进行方差分析，而宜改用非参统计等其他方法比较多个样本均数。关于资料的正态性检验可看七章三节，关于各方差是否一致，现以表8.5资料为例将方差齐性检验的Bartlett氏法简述如下：
首先，作检验假设：样本来自方差相等的各总体，就本例言即
H0：σ12=σ22=σ32=σ42
H1：各总体方差不尽相
α=0.05
然后按下列公式求检验统计量。如果检验假设属真，此统计量近似于自由度为K-1的X2分布。各样本方差相差越大时求出的X2统计量也越大，反之则的反是。
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上式中2.3026是由自然对数换成常用对数计算时用的转换系数，若直接用自然对数ln，不用1g，就不必乘此数，C也是一个系数，用以校正χ2值，求C的公式是，
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现不防先求C以便计算校正的χ2值，表8.5中各组的例数为n1=8，n2=7，n3=9，n4=8，K组共计例数N=32，则
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在表8.5的下部最末一行我们已将各组离均差平方和及其合计列出，只要分别除以各自的自由度即为各组方差及合并方差Sc2,然后代入式8.12便可求得χ2
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此值小于X20.05,3=7.81,P>0.05,我们按α=0.05水准接受各总体方差相等的假设，认为方差是齐的。因此，该资料符合要求，可以进行方差分析来比较四组鼠脾DNA含量相差是否显著。
9-6
练习题
1．用三种抗凝剂（A1、A2、A3）对一血标本作红细胞沉降速度（一小时值）测定，每种各作5次，问用三种抗凝剂所作血沉值之间有差别否？
A1：15 11 13 12 14
A2：13 16 14 17 15
A3：13 15 16 14 12
2．下表所列数字为鹿茸草对五例原发性血小板减少症患者（治前血小板低于10万/mm3）治疗一、二疗程及出院时的血小板升高数，另有五名健康成人用同一药物后不同时间的升高数附后。考虑这两个资料应用什么方法分析为宜，两者是否该用同一方法处理。
不同人用鹿茸草后血小板的升高值（万/mm3）
3．为测定黄铜铸造车间的空气中氧化锌浓度，在车间内选4个不同地点A、B、C、D，每点取自地面不同的四个高度，于一日内的四个不同时间采用4×4拉丁方设计进行采样，用双硫腙比色法测定其含量，得结果如下。试比较不同地点、不同高度，不同时间车间空气中ZnO浓度有无显著不同。
不同地点、时间和高度空气中氧化锌浓度
| 患者号 | 一疗程后 | 二疗程后 | 出院时 | 健康人 | 用药后 | ||
| 二小时 | 五小时 | 一昼夜 | |||||
| 1 | 6.8 | 7.6 | 7.6 | 1 | 1.8 | 8.7 | 2.3 |
| 2 | 8.0 | 10.0 | 10.0 | 2 | 5.4 | 9.8 | 3.1 |
| 3 | 5.8 | 12.8 | 11.6 | 3 | 6.1 | 2.3 | 1.0 |
| 4 | 5.0 | 5.0 | 7.0 | 4 | 1.5 | 3.2 | 0.4 |
| 5 | 6.0 | 10.0 | 22.8 | 5 | 2.4 | 7.2 | 0.5 |
| 采样时间（小时） | 氧化锌浓度 | |||
| 高度1 | 高度2 | 高度3 | 高度4 | |
| 9：00 | C10.5 | D7.7 | B12.0 | A13.2 |
| 11：00 | B11.1 | A12.0 | C10.3 | D7.5 |
| 14：00 | D5.8 | C12.2 | A11.2 | B13.7 |
| 17：00 | A11.6 | B12.3 | D5.9 | C10.2 |