第十章 非参数统计

什么叫非参数统计？先从参数统计说起。总体的特征值叫参数，一些特定分布都有其参数，如正态分布由μ、σ两个参数所决定。有些统计方法是根据特定分布设计出来的，如估计正常值范围的正态分布法、U检验等是根据正态分布设计出来的，这样的一些方法统称为参数统计，前边已学过的t检验和方差分析都属于参数统计。但在实际工作中，有些资料不易判定或不符合所要求的分布，因此就需要有这样一些统计方法，它不受由参数所决定的特定分布的限制而适用于任意分布，这类统计方法称为非参数统计（non-parametric Statistics）或称不拘分布distribution-free)的统计。
用非参数统计法处理资料时所比较的是分布而不是参数。它不考虑资料的分布类型，直接用样本数据的符号、大小顺序号、综合判断划分的名次、严重程度、优劣等级等作比较。
非参数统计的优缺点是：
方法简便、易学易用，要求资料所具备的条件不像参数法那样严格，因而易于推广使用。另外，参数法难以处理的等级资料，非参数法却能加以分析，故其应用范围广泛。
但如果已知资料所属总体近似于正态分布，或者资料经代换后可呈某种特定分布，那末，非参数统计法所得信息就不及参数统计法多，当检验假设错误时，非参数统计发现差异的灵敏度也较低。
当资料中例数并不太少时，用非参数统计所得的结论常和用参数统计法相同，但当统计结果在显著性界线附近时，两者结论可能不同，此时，若资料具备参数统计要求的条件，则以参数统计结论较合理，若资料不具备参数统计要求的条件，则非参数统计的结论可能准确些。
在下述情况下非参数统计可作为首选方法：
1．各种资料的初步分析；
2．某种标志不便准确的测量，而只能以严重程度、优劣等级、成效大小、名次先后或综合判断等方式定出次序时；
3．资料的分布类型不能确定时；
4．综合分析同质性较差的资料时，如不同地点，不同年份的某种实验结果等；
5．组内个别数据偏离过大，或各组内变异相差悬殊时。

将资料用正负号表示，然后根据正负号个数计算χ2值进行假设检验，称为符号检验。符号检验的检验假设：若为成对资料，则为H0:P(X1>X2)=P(X2>X1)，含义是总体内每一对数字（分别用X1和X2表示)中，X1>X2的概率等于X2>X1的概率，都是1/2，而备择假设H1为P（X1>X2）≠P(X2>X1)≠1/2；若为不成对资料，检验假设H0为F（X1）=F（X2）即两总体的分布函数相等，而H1：F（X1）≠F（X2）。符号检验的计算都很简单，但检验效率也较低。

现以例10.1说明其计算步骤如下： 1．划出每对数值的正负号，如令用药后每分钟灌流滴数大于用药前的为“+”，反之为“-”，相等为“0”，则其结果见表10.1最右侧栏。 2．清点“+”、“-”、“0”各有几个，分别记为n+、n-、n0，得n+=9，n-=3，n0=0 3．代入式（10.1），求得χ2值 yixuetongjixue173.jpg，v＝１（10.1） 4．但χ2值表，作出结论。 例10.1　表10.1为豚鼠注入肾上腺素前后的每分钟灌流滴数，试比较给药前后灌流滴数有无显著差别。 表10.1　豚鼠给药前后的灌流滴数

豚鼠号	每分钟灌流滴数		X2-X1的正负号
用药前X1	用药后X2
1	30	46	+
2	38	50	+
3	48	52	+
4	48	52	+
5	60	58	-
6	46	64	+
7	26	56	+
8	58	54	_
9	46	54	+
10	48	58	+
11	44	36	-
12	46	54	+

将n+=9,n-=3代入式(10.1)得 yixuetongjixue174.jpg χ20.05,1=3.841,今χ2<χ20.05,1,故P<0.05，不能拒绝检验假设H0，故这种相差是不显著的，不能得出用药后比用药前灌流滴数增加的结论。 此法简便，但较粗糙，数据少于6对时，不能测出显著性，12对以下应慎用，当达到20对以上时，其结果才比较可靠，另外，n。较多时，会夸大差别。

现以例10.2说明其计算步骤如下： 1．各自排列，统一编秩号。将两组数据分别从小到大排列，然后按两组数据自小至大统一给以顺序号，即为秩号。编秩号时，凡数据相等而分属于两组的，应编平均秩号，如0.042共有三个，分属于两组，其秩号应该是7、8、9，求其平均，皆给以平均秩号8。 2．求秩号的中位数MR，公式是： （10.2） 3．求各组n+、n-、n0：以MR为准，大于MR的秩号个数为n+，小于MR的秩号个数为n-，相等者为n。 4．代入下式求χ2值 ν=组数-1　（10.3） 5．查χ2值表，作结论。 例10.2　表10.2为9名健康人和8名铅作业工人的尿铅值（mg/L）试比较两组间有无显著差别？ 表10.2　9名健康人与8名铅作业工人的尿铅值（mg/L）

健康人	秩号	铅作业工人	秩号
0.001	1	0.042	8
0.002	2	0.042	8
0.014	3	0.048	10
0.020	4	0.050	11
0.032	5	0.082	14
0.032	6	0.086	15
0.042	8	0.092	16
0.054	12	0.098	17
0.064	13

两组各自排队，统一编秩号，其结果见表10.2 以此数为准，数得两组秩号的n+、n-、n0如 下：

	n+	n-	n0
健康人数	2	7	0
铅作业工人组	6	2	0

代入公式 yixuetongjixue178.jpg ν＝2-1＝1，χ20.05,1＝3.841 今χ2<χ20.05,1故P>0.05　不能拒绝检验假设，相差不显著，还不能说健康人与铅作业工人尿铅值有显著差别。 当多组资料比较时，其步骤与两组比较的一致，但计算χ2值的公式略有不同： （10.4） 符号检验未充分利用原始资料中的全部信息，故比较粗，但因其简便，可迅速得到结果故也有其使用价值。

用秩号代替原始数据后，所得某些秩号之和，称为秩和，用秩和进行假设检验即为秩和检验。其检验假设在两组比较（成对或不成对）时，H0：F（X1）=F（X2），即两总体的分布函数相等，备择假设H1：F（X1）≠F（X2）。本法由于部份地考虑了数据的大小，故检验效力较符号检验大大提高。至于其方法、步骤，不论是查表法或计算法、也都相当简便，现举例说明如下。

此法由Wilcoxon氏首次提出，故又称Wilcoxon氏法。 处理时可用查表法或计算法，今以例10.3分别说明如下。 查表法步骤： 1．排队，将差数按绝对值从小至大排列并标明原来的正负号，见表10.3第（5）栏，排队后与原豚鼠号已无对应关系。 2．编秩号，成对资料编秩号时较为复杂，要注意三点： （1）按差数的绝对值自小至大排秩号，但排好后秩号要保持原差数的正负号； （2）差数绝对值相等时，要以平均秩号表示，如表10.3中差数绝对值为4者共三人，其秩号依次应为2、3、4，现皆取平均秩号3； （3）差数为0时，其秩号要分为正、负各半，若有一个0，因其绝对值最小，故秩号为1，分为0.5与-0.5，若有两个0，则第二个0的秩号为2，分为1与-1等等。 3．求秩号之和即将正、负秩号分别相加，本例得正秩号之和为68，负秩号之和为10，正负秩号绝对值之和应等于1/2n(n+1)，可用以核对，如本例68+10=12/1（12+1）=78，证明秩号计算正确。 4.以较小一个秩号之和（R），查附表12进行判断，该表左侧为对子数，表身内部是较小秩号和，与上端纵标目之概率0.05,0.01相对应，其判断标准是 R>R0.05时P>0.05 R0.05≥R>R0.01时0.05≥P>0.01 P≤R0.01时　P≤0.01 例10.3　请以表10.1资料用秩和检验处理之。 表10.3　豚鼠给药前后灌流滴数及其秩号

豚鼠号 （1）	每分钟灌流滴数			按差数绝对值排队 （5）	秩号
用药前 （2）	用药后 （3）	差数 （4）	正 （6）		负 （7）
1	30	46	16	-2		1
2	38	50	12	-4		3
3	48	52	4	4	3
4	48	52	4	4	3
5	60	58	-2	-8		6
6	46	64	18	8	6
7	26	56	30	8	6
8	58	54	-4	10	8
9	46	54	8	12	9
10	48	58	10	16	10
11	44	36	-8	18	11
12	46	54	8	30	12

68　R=10 将表中10.1中用药前后的数据求出差数，并按差数绝对值排队，结果见表10.3第（5）栏。再编秩号，为计算方便，正、负秩号分列两栏，见表10.3第（6）、（7）栏。 上例，n=12,∣R∣=10，查附表12得 R0.05=14R0.01=7 今R0.05>R>R0.01，故0.05>P>0.01，在概率0.05水平上拒绝H0，接受H1，即用药前后的相差是显著的，给药后每分钟灌流滴数比用药前增多了。 附表12中只列有n≤25时的临界值。当n值较大时亦可采用计算法。 计算法步骤： 在计算法时，对差数的排队，编秩号及求秩号之和同查表法，不同的是求得秩号之和以后的算，所用公式是： yixuetongjixue180.jpg u0.05=1.96u0.01=2.58　(10.5) 式中n为原始资料中数据的对子数，R为正秩号之和或负秩号之和，为计算方便，通常取绝对值较小的秩号之和为r 。 本例，n=12，R=-10，代入得： yixuetongjixue181.jpg U0.05P>0.01，在α=0.05水准上拒绝H0，接受H1，结论与查表法相同。 据研究，当n大于10时，上式算得的u近似正态分布，故计算法只用于n值较大时。 因本例资料接近正态分布，故曾用t检验的个别比较方法处理过，结果是：t=2.653　0.05>P>0.01，与秩和检验结论相同，但与符号检验结论不同（χ2=2.083,P>0.05），说明符号检验的检验效率比秩和与t检验都要低，比较粗糙，而秩和检验的效率与t检验较接近。

此法又称为wilcoxon氏两样本法。 处理时也可用查表法或计算法，今以例10.4分别说明之。 查表法步骤： 1．各自排队，统一编秩号，即将两组数据分别从小到大排列，但编秩号时要两组统一进行，凡分属于两组的相等数据用平均秩号，如本例0.042共三个，取平均序号皆为8。 2．令较小样本秩号之和为r ，例数为n１。 3．计算R＇，公式为： R＇=n1(n1+n2+1)-r　(10.6) R＇是同一个样本资料，当秩号倒排（即由大至小）时较小样本秩号之和。 4．以R和R＇两秩号之和中较小者与附表13中R的临界值比较，以作出判断，其标准仍是： R>R0.05时　P>0.05 R0.05≥R>R0.01时　0.05≥P>0.01 P≤R0.01时　P≤0.01 例10.4　请以表10.2资料用本法处理之。 表10.4　九名健康人与八名铅作业工人的尿铅值（mg/L）

健康人	秩号	铅作业工人	秩号
0.001	1	0.042	8
0.002	2	0.042	8
0.014	3	0.048	10
0.020	4	0.050	11
0.032	5	0.082	14
0.032	6	0.086	15
0.042	8	0.092	16
0.054	12	0.098	17
0.064	13
n2=9	54	n1=8	R=99

先将本表10.2中两组数据各自排队并统一编秩号，结果见表10.4。 较小样本为铅作业工人组，n1=8，R=99，代入式（10.6） R＇=8（8+9+1）-99=45 R与R＇两者中以R＇较小，故以P＇值与附表13数值比较，得R0.05=51，R0.01=45；今R＇=R0.01，故P=0.01，在α=0.05水平上拒绝H0，接受H1，差别显著，故铅作业工人尿铅值比健康人高。 计算法步骤： 两组资料比较时，也可用计算法。用计算法时，对两组数据各自排队、统一编秩号同查表法，不同的是求得秩号之和以后计算，公式是： yixuetongjixue182.jpgu0.05=1.96u0.01=2.58　(10.7) 为便于计算和前后符号一致，n1作为较小样本例数，R为较小样本的秩和，n2则为较大样本的例数。 本例n1=8，R=99，n2=9代入公式得： yixuetongjixue183.jpg 今∣u∣>u0.01,故P<0.01，在α=0.01水准上拒绝H0接受H1，其结论同查表法， 据研究，当n1、n2都大于8时，算得的u近于正态分布，若例数太少，则以查表法更为精确。 本例如用t检验的团体比较处理，则t=3.169,P<0.01，二者结论一致，但与符号检验结论不同（χ2=2.930,P>0.05）同样说明符号检验较粗糙，检验效率低，而秩和检验与t检验的结论较近。

等级资料又称为半计量资料，当两组等级资料比较时，用秩和检验来比较其相差是否显着比用χ2检验要恰当。两组等级资料，通常例数都较多，故一般都用计算法，其步骤与两组资料的秩和检验相似，不同的是要求各等级的平均秩号，为此，先要求得各等级的秩号范围。今举例10.5说明之。 1．求各等级的平均秩号。为此，先要求出各等级的秩号范围，如等级“-”共18+8=26例，共秩号范围自1～26。要注意的是各等级的秩号范围必须紧相联接。最后一组秩号范围的上限一定等于两组例数之和。求得各等级秩号范围后，再求其下限和上限的平均，即可算得平均秩号，如等级“一”的平均秩号为（1+26）/2=13.5。余类推。 2．求出R及其n1，为计算方便，把例数少的正常人组的秩号之和作为R其例数为n1得R=308，n1=20，n1=32 3．代入式（10.7）得u值，即可作结论。 例10.5，今有20名正常人和32名铅作业工人尿棕色素定性检查结果如下表10.5，试问其相差是否显著？ 表10.5　20名正常人和32名铅作业工人尿棕色素定性检查结果

尿棕色素定性结果	正常人	铅作业工人	合计	秩号范围	平均秩号	例数较小组的秩和
-	18	8	26	1—26	13.5	243
+	2	10	12	27—38	32.5	65
++	—	7	7	39—45	42.0	—
+++	—	3	3	46—48	47.0	—
++++	—	4	4	49—52	50.5	—

n1=20　n2=32　R=308 代入式（10.7） yixuetongjixue184.jpg u0.01=2.58，今u>u0.01，故P<0.01，在α=0.01水准上拒绝H0，接受H1。两组相差显著，铅作业工人尿棕色素比正常人为高。

多组资料的比较也是从排秩号开始，但不是直接用秩和进行检验，有的书籍称之为秩检验（rank test），以示与秩和检验有别，其检验假设也较复杂：在处理完全随机设计的资料时，H0：F（X１）＝F（X2）=F（X3）=……，即比较的各样本所对应的各总体的分布函数相等，H1：各总体的分布函数不相等或不全相等；在处理随机单位组设计的资料时，H0：P（χij=r）=1/n，即内组各秩号r之概率相等，都是1/n(r=1，2，……，n)而H1为：P=（χij=r）≠1/n。 因不同实验设计所得资料的处理也有别，故下面分别举例说明之。 （一）完全随机设计所得资料的比较 用的方法是单因素多组秩检验，称为Kruskal-Wallis氏法，或H检验。其计算步骤如下。 1.各自排队，统一编秩号。即将各组数据在本组内从小到大排队，见表10.6各含量栏，再将各组数值一起考虑编出统一秩号，见表10.6各“秩号”栏，分属不同组的相同数值用平均秩号； 2.求各组秩号之和R1以及各组数n1： 3.代入下式计算H值： （10.8） 式中N为各组例数之和，Ri和ni为各组的秩号之和以及例数： 4．查表作结论 当比较的组数多于三组，或组数虽只有三组但每组例数大于5时，H值的分布近于自由度等于组数-1的χ2分布，故可用对应的χ2值作界值。当三组比较时每组例数均不超过5时，H值与χ2值有较大偏离，此时可查附表14，直接查得H0.05和H0.01。 例10.6　雄鼠20只随机分为四组，第1、2组在皮肤上涂用放射性锡（Sn113）标记的三乙基硫酸锡，涂后将皮肤暴露于空气中；第3、4组涂药后用密闭小玻璃管套使皮肤与外界空气隔开，三小时后杀死，测肝中放射物，结果如表10.6，试比较各组含量间有无显著相差？ 表10.6　白鼠皮肤涂药后，肝中放射性Sn113的含量

涂干药后敞开	涂湿药后敞开		涂干药后密闭		涂湿药后密闭
含量	秩号	含量	秩号	含量	秩号	含量	秩号
0.00	1	1.82	11	0.66	5	3.67	14
0.42	2.5	2.79	12	0.71	6	4.46	16
0.42	2.5	3.07	13	0.75	7	4.51	18
0.59	4	4.19	15	0.83	8	5.07	19
0.97	9	4.47	17	1.49	10	6.02	20
Ri	R1=19	R2=68		R3=36		R4=87
ni	n1=5	n2=5		n3=5		n4=5

各组资料各自排队，统一编秩号，以及求各组的秩号之和Ri和例数ni见表10.6 代入式（10.8）得 yixuetongjixue186.jpg 本例组数为4（>3），查χ2值表，ν=4-1=3，得χ20.05,3=7.81，χ20.01,3=11.34，今H>χ20.01,3，故P<0.01，在α=0.01水准上拒绝H0，接受H1，即各组肝中放射性Sn113含量差别显著。 （二）随机单位组设计所得资料的比较 用的方法是双因素多组秩检验，即Friedman氏法。 处理这种资料时可分成两步，对两个因素分别进行检验。现用例10.7说明其计算步骤： 先比较四种防护服对脉搏的影响 1．将穿四种防护服的每一受试者的脉搏数从小到大编秩号，当数值相等时用平均秩号，见表10.7各秩号栏。 2．求各防护服组秩号之和Ri 3．代入式10.9求H值 （10.9） 式中t（treatment）为处理组数，b(block)为单位组数。 4．查表作结论 当t>4或t=4且b>5或t=3且b>9时，H值的分布近于自由度ν=t-1时的χ2分布，故可查相应的χ2值与H值比较作出判断：如t、b不能满足上述条件，则所算得的H值与χ2分布有较大偏离，需查附表15作判断。 例10.7　受试者5人，每人穿四种不同的防护服时的脉搏数如表10.7，问四种防护服对脉搏的影响有无显著差别？又五个受试者的脉搏数有无显著差别？ 表10.7　比较穿四种防护服时的脉搏数（次/分）

受试者	防护服A		防护服B		防护服C		防护服D
编　号	脉搏	秩号	脉搏	秩号	秩号	秩号	脉搏	秩号
1	144.4	4	143．0	3	133．4	1	142．8	2
2	116.2	2	119．2	4	118．0	3	110．8	1
3	105.8	1	114．8	3	113．2	2	115．8	4
4	98.0	1	120．0	3	104．0	2	132．8	4
5	103.8	2	110．6	4	109．8	3	100．6	1
秩秩号和Ri		10		17		11		12

t=4b=5 排队、编秩号、求各比较组的Ri见表10.7所示。 将表10.7中各数代入式10.9，得 yixuetongjixue188.jpg 本例t=4，b=5查附表15，得H0.05=7.80，今H>H0.05，故P>0.05，在α=0.05水准上接受H0，无显著差别，故四种防护服对脉搏的影响无显著差别。 再比较五名受试者的脉搏数： 将数据列出（同表10.7），但秩号是按每种防护服中受试者脉搏的数值从小到大编定，然后求出各受试者秩号之和R１，详细见表10.8 表10.8　比较五名受试者的脉搏数

受试者	防护服A		防护服B		防护服C		防护服D		Ri
编　号	脉搏	秩号	脉搏	秩号	脉搏	秩号	脉搏	秩号
1	144.4	5	143．0	5	133．4	5	142．8	5	20
2	116.2	4	119．2	3	118．0	4	110．8	2	13
3	105.8	3	114．8	2	113．2	3	115．8	3	11
4	98.0	1	120．0	4	104．0	1	132．8	4	10
5	103.8	2	110．6	1	109．8	2	100．6	1	6

t=5b=4 将表10.8 所得各数据代入式10.9得 yixuetongjixue189.jpg 此处t>4,故查ν=5-1=4时的χ2值表，得：χ20.05,4=9.49，χ20.01,4=13.28，今χ20.05,4P>0.01，在α=0.05水准上拒绝H0，接受H1，差别显著；即五名受试者脉搏数相差显著，1号受试者最高，5号受试者最低。

当多组间的差别显着时，则需进一步判断那些组之间的差别有显着性，这个问题的解决方法与第八章第二节中的多个均数间的两两比较很相似，在例10.6四个实验组涂放射性锡的例子中，结果为H>χ20.01,3，P<0.01，现以此为例，进一步作各组两两间比较，步骤如下： 1．将各组秩和从大到小依次排队，并求得两两间的相差，见表10.9 2．计算标准误，计算公式是： yixuetongjixue190.jpg（10.10） 式中σ为任意两个秩和之差的标准误，n为各组例数，a为处理数，此式要求各组例数相等， 3．查q值表定界限作结论 仍查方差分析时用的q值表，v→∝ 各q值须与处理数相同的标准误相乘，如处理数为2的q值要乘以处理数为2时的标准误，2.77×6.77=18.75,3.64×6.77=24.64等，余类推。 例10.6资料两两间比较如下： 表10.9　每两组秩和之间的相差及其显著性

组别	秩和Ri	Ri—19	Ri—36	Ri—68
涂湿药后密闭	87	68**	51**	19*
涂湿药后敞开	68	49**	32**
涂干药后密闭	36	17
涂干药后敞开	19

计算标准误：n=5，用式10.10 yixuetongjixue191.jpg 查q值表，得：

处理数	2	3	4
q0.05,∞	2.77	3.31	3.63
q0.01,∞	3.64	4.12	4.40
q0.05,∞σ	18.75	33.10	48.02
q0.01,∞σ	24.64	41.20	58.21

两两比较后的结论见表10.9所示，结合起来看，结论是：涂湿药的比涂干药肝中放射性Sn113含量要高，涂湿药中，密闭的比敞开的含量高。

参数法中介绍的直线相关只适用于正态双变量资料，但实际资料有时不能满足这些条件。如两事物有相关，但其观测结果不是计量资料而是等级资料，此时即可用秩相关来表达和分析。 本节介绍常用的Spearman秩相关。今以例10.8介绍其一般计算步骤： 1．将资料列成便于计算用的表，见表10.10，为便于编秩号，在列表时可按资料中一个变量的原始数据由小到大排队，但另一变量中各相应数值必须随成对关系变动，不能打乱。 2．两变量各自从小到大编秩号，同一变量数值相等时求平均秩号，见表10.10中的“秩号”栏。 3．求各对变量值秩号之差数d，再求∑d2。 4．代入式10.11，计算秩相关系数ra（又称Spearman秩相关系数） （10.11） 式中n为变量值的对子数。算得的r8与直线相关系数的意义相同，其范围在-1～+1之间，也分为正相关和负相关。 5．查表作结论 当n>50时，秩相关系数显著性的界值与直线相关系数相近似，故可根据ν=n-2查附表11来作判断：当n≤50时，则查阅附表16。 例10.8　通过普查得到七个地区居民中单纯性甲状腺肿患者百分比与当地食物、水中的含磺量如表10.10右侧第一、第三两栏所列。问该两事物是否显著相关？ 表10.10　单纯性甲状腺肿患者百分数 与当地食物水中含碘量的秩相关分析

含　碘　量	患者百分数		秩号差d	d2
X1	秩号	X2			秩号
71	1	16.9	7	-6	36
81	2	4.4	6	-4	16
126	3	2.5	5	-2	4
154	4	0.8	3	1	1
155	5	1.1	4	1	1
178	6	0.6	2	4	16
201	7	0.2	1	6	36

n=7∑d2=110 将n，∑d2代入式10.11得： yixuetongjixue193.jpg 本例n=7,查例表16，得r80.05,7=0.786，r8 0.01,7=0.929,今∣r8∣>r80.01,7故P<0.01,α=0.01水准上拒绝H0，接受H1，故某地居民单纯性甲状腺肿患者百分数与当地食物、水中含碘量之间呈显著的负相关。

参照单位分析适用于等级资料，如按疗效分为治愈、好转、无效、恶化，按反应分为-、+、++、+++，和按麻醉效果分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ级等的资料。 参照单位分析又称Ridit分析，常是将等级资料中例数较多的一组的分布作为一个特定的分布来计算各等级的参照单位值（R值），再参照这些R值计算各组的加权平均R值并进行假设检验。Ridit的前三个字母是Relative to an indentifieddistribution的缩写，-it是unit的字尾，故其含义是“相对于某一特定分布的单位”。由于有时将idantifieddistribution称为reference distribution，故译为参照单位 。 参照单位分析一般计算步骤如下： 1．选标准组 标准组的选择可根据各组例数多少以及所研究的问题而定。一般选例数多的组为标准组。如果各组例数相近或都较少时，可用合计数为标准组，（但若各组例数过少，则不宜用此法，可用秩和检验）；若研究的是新、旧药物的疗效，则可以旧药为标准组；若研究的是患者与正常人相比较，则可选正常人为标准组。另外，标准组中的数字要求分布于各个等级，如果有的等级为0或过于少，将对计算结果产生影响。本例选辩中西组为标准组。 2．计算标准组的参照单位值，（R值） 计算前最好将各等级按由弱到强的次序排列。计算的步骤与方法是：①计算标准组各等级的1/2值②求标准组累计例数并下移一行③将①、②求得的值按各等级相加④以标准组总例数除之，即得标准组各等级的R值。 3．参照标准组的R值，计算各组的平均R值（r ） 将每组中各不同疗效者例数与标准组对应的R值相乘，将乘积加总，再除以该组总例数，即为R，公式为 （10.12） 4．计算各组的95%可信区间进行显著性检验，R值的标准差为 yixuetongjixue195.jpg，故R值的标准误为 （10.13） R的95%可信限为 yixuetongjixue197.jpg （10.14） 按此公式算得各组的95%可信区间后，作两两间的比较，凡无重叠者即有显著差别；有重叠者则无显著差别。 例10.9　四种疗法治疗溃疡病的疗效如表10.11，试比较其疗效。 表10.11　几种疗法治疗溃疡病的疗效

疗效	例　数				百分比（％）
西组	中组	辩中组	辩中西组	西组	中组	辩中组	辩中西组
治愈	15	10	16	214	41.7	18.5	40.0	61.1
显效	8	11	13	93	22.2	20.4	32.5	26.6
好转	9	20	9	39	25.0	37.0	22.5	11.2
无效	4	13	2	4	11.1	24.1	5.0	1.1
合计	36	54	40	350	100.0	100.0	100.0	100.0

注：西组为单纯西药组，中组为单纯中药组，辩中组为辩证分型中草药组，辩中西组为辩证分型中西医结合组。 选辩中西组为标准组，并计算其R值如表10.12 表10.12　标准组R值计算表

疗效	例数 （1）	(1)/2 （2）	累计例数并下移一行 (3)	(2)+(3) （4）	R值(4)/n (5)
无效	4	2.0	0	2.0	0.006
好转	39	19.5	4	23.5	0.067
显效	93	46.5	43	89.5	0.256
治愈	214	107.0	136	243.0	0.694

N=350 R值的计算，也可用百分比进行，结果相同，见表10.13 表10.13　用百分比求R值的计算表

疗效	百分比 （1）	(1)/2 (2)	累计例数并下移一行(3)	(2)+(3) (4)	R值（4）/n (5)
无效	1.1	0.55	0	0.55	0.006
好转	11.2	5.60	1.1	6.70	0.067
显效	26.6	13.30	12.3	25.60	0.256
治愈	61.6	30.55	38.9	69.45	0.695

N=100.0 再计算各组的R值（加权平均参照单位值），用式（10.12），式中各符号结合本例含义是 式中∑为总和，f为各不同疗效者例数，R为与f同一疗效之标准组的R值。 标准组的R值应为0.5，可用以核对R值是否算对。 本题各组R计算如下： R辩中西=（4×0.006+39×0.067+93×0.256+2.4×0.694）/350=0.500 R西=（4×0.006+9×0.067+8×0.256+15×0.694）/36=0.363 R中=（13×0.006+20×0.067+11×0.256+10×0.694）/54=0.207 R辩中　=(2×0.006+9×0.067+13×0.256+16×0.694)/40=0.376 将各组R值与例数代入式10.14，得各组95%可信限如下： 辩中西 yixuetongjixue198.jpg 西组 yixuetongjixue199.jpg 中组 yixuetongjixue200.jpg 辩中组 yixuetongjixue201.jpg 将各组的95%可信区间图示如下： yixuetongjixue202.jpg 图10.1　四种疗法治疗溃疡病疗效的比较（Ridit分析） 根据以上四个区间及其示意图可以看出，辩中西组的区间与其它三组都不重叠，其它三组中西组和辩中组两区间有较大重叠，而与中组都是稍有重叠，在这种情况下可作较精确的分析，因为上述R值的标准差为 yixuetongjixue195.jpg，或方差为1/12，只是一个近似值，据数理统计研究，R值的方差是一个逐渐接近1/12并以1/12为最大值。它与等级数有关，随着等级的增多，最大方差愈来愈接近1/12。表10.14是资料的等级数与最大方差。 表10.14　各种等级数时的最大方差

等级数	2	3	4	5	6	7	8	9
最大方差	1/16	2/27	5/64	2/25	30/432	4/49	21/256	20/243

实际资料的方差都小于1/12，故用以推算得的可信区间偏大，假设检验结论比较保守。本例中组与辩中组的区间重叠部分甚少，用表10.14内数值代替1/12，则可得到更为适当的结果。该资料等级数为4，查表10.14得最大方差为5/64故标准误为 yixuetongjixue203.jpg，以此计算西组、中组、辩中组的95%可信区间如下： 西组 yixuetongjixue204.jpg 中组 yixuetongjixue205.jpg 辩中组 yixuetongjixue206.jpg 这样就可以认为中组与辩中组疗效相差也是显著的，虽然这里用的仍是最大方差，但是等级为4时的最大方差，假设检验结论还是比较保守的，但比用1/12要精确些，当等级小于4时，更以查此表数值为宜。

1．试用符号与成对资料的秩和，检验两组鼠肝中维生素A含量（国际单位/克）有无显着差异，并与t检验的结果作比较。 不同饲料组鼠肝维生素A含量

大鼠配偶组	肝中维生素A含量		差数d
	正常饲料组	维生素E缺乏组
1	3550	2450	1100
2	2000	2400	-400
3	3000	1800	1200
4	3950	3200	750
5	3800	3250	550
6	3750	2700	1050
7	3450	2500	950
8	3050	1750	1300

2．试用符号及两组资料的秩和，检验某地克山病患者10人与健康者13人的血磷含量（mg%）有无显著差别，并与t检验的结果作比较。 急性克山病患者与克山病区健康人血磷(mg%)测定值比较

患者	2.60	3.24	3.73	3.73	4.32	5.18	5.58	5.78	6.40	6.53
健康人	1.67	1.98	1.98	2.33	2.34	2.50	3.60	3.73	4.14	4.17	4.57	4.82	5.78

3．在研究人参镇镇静作用的实验中，曾有人以5%人参浸液对某批小白鼠20只作腹腔注射，而以等量蒸馏水对同批12只小白鼠作同样注射为对照，问能否说人参有显著的镇静作用？ 人参镇静作用的实验结果

镇静等级	例　数
	人参组	对照组
-	4	11
±	1	…
+	2	1
++	1	…
+++	12	…

4．试用秩和检验健康人和各期矽肺病人的血清粘蛋白含量（毫克/100毫升）间有无显著差异。 健康人与各期矽肺病人的血清粘蛋白含量（毫克/100毫升）

正常人	0—I期矽肺	I期矽肺	Ⅱ期矽肺	Ⅲ期矽肺
64.26	62.01	65.45	74.97	77.11
42.84	67.33	69.63	88.06	82.58
52.48	70.40	69.73	93.47	83.53
48.19	78.91	74.97	95.10	89.01
80.22	85.68	80.44	100.67	97.58
69.61	85.68	80.44	101.14	103.81
48.19	91.15	95.20	113.52	107.10
58.90	94.82	96.39	118.98	178.42

5．12名2-7岁急性白血病患儿的血小板及其出血状况的资料如下表，根据这一资料能否判断血小板数目与出血严重程度之间有显著相关？ 12名急性白血病患儿的血小板出血状况

血小板	出血状况
12，160	明显
13，790	较明显
16，500	个别出血点
31，050	无
42，600	较明显
34，270	较明显
74，240	无
106，430	无
126，170	无
129，000	无
143，880	明显
200，400	无

6．试比较下表中三种复方小叶枇杷对老年性慢性支气管炎治疗的效果。 三种复方小叶批杷对老年性慢性支气管炎疗效的比较

疗效	例 数			百分比（％）
	老复方	复方I	复方Ⅱ	老复方	复方I	复方Ⅱ
近控	36	4	1	9.4	4.0	2.6
显效	115	18	9	30.1	17.8	23.1
好转	184	44	25	48.2	43.6	64.1
无效	47	35	4	12.3	34.6	10.2
合计	382	101	39	100.0	100.0	100.0